5、二元函数f(x,y)=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x的极大值点为[ ]A. (1,0)B. (1,2)C. (-3,0)D. (-3,2)

考查要点：本题主要考查二元函数极值的求解方法，包括驻点的求解和极值类型的判定。

解题思路：

1. 求一阶偏导数，联立方程组求出所有驻点。
2. 计算二阶偏导数，构造Hessian行列式。
3. 分析每个驻点的Hessian行列式符号及二阶偏导数符号，判断是否为极值点及极值类型。

破题关键：

• 驻点求解需分别对$x$和$y$求偏导并解方程。
• Hessian行列式的符号决定极值存在性：$H > 0$时，结合$f_{xx}$符号判断极大或极小；$H < 0$时非极值点。

求一阶偏导数

1. 对$x$求偏导：
   $f_x = 3x^2 + 6x - 9 = 0 \implies x = -3 \text{ 或 } x = 1$
2. 对$y$求偏导：
   $f_y = -3y^2 + 6y = 0 \implies y = 0 \text{ 或 } y = 2$
   驻点为$(-3,0)$、$(-3,2)$、$(1,0)$、$(1,2)$。

求二阶偏导数

$f_{xx} = 6x + 6, \quad f_{yy} = -6y + 6, \quad f_{xy} = 0$
Hessian行列式：
$H = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = f_{xx}f_{yy}$

分析各驻点

1. $(-3,0)$：
   $f_{xx} = -12, \quad f_{yy} = 6, \quad H = -72 < 0 \quad (\text{非极值点})$
2. $(-3,2)$：
   $f_{xx} = -12, \quad f_{yy} = -6, \quad H = 72 > 0 \quad (\text{极大值点})$
3. $(1,0)$：
   $f_{xx} = 12, \quad f_{yy} = 6, \quad H = 72 > 0 \quad (\text{极小值点})$
4. $(1,2)$：
   $f_{xx} = 12, \quad f_{yy} = -6, \quad H = -72 < 0 \quad (\text{非极值点})$