11 填空 (2分) 若Xsim B(100,0.8)，则P(72le Xle 88)ge____ .(答案写成*/*的形式)

为了求解 $ P(72 \le X \le 88) $ 的下限，其中 $ X \sim B(100, 0.8) $，我们可以使用切比雪夫不等式。切比雪夫不等式指出，对于任何随机变量 $ X $ 和任意正数 $ k $， \[ P(|X - \mu| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2} \] 其中 $ \mu $ 是 $ X $ 的期望， $ \sigma $ 是 $ X $ 的标准差。 首先，我们计算 $ X $ 的期望 $ \mu $ 和标准差 $ \sigma $。对于二项分布 $ B(n, p) $，期望 $ \mu $ 和方差 $ \sigma^2 $ 分别为 \[ \mu = np \] \[ \sigma^2 = np(1-p) \] 对于 $ X \sim B(100, 0.8) $，我们有 \[ \mu = 100 \times 0.8 = 80 \] \[ \sigma^2 = 100 \times 0.8 \times 0.2 = 16 \] \[ \sigma = \sqrt{16} = 4 \] 现在，我们希望求 $ P(72 \le X \le 88) $。这可以重写为 \[ P(72 \le X \le 88) = P(-8 \le X - 80 \le 8) = P(|X - 80| \le 8) \] 根据切比雪夫不等式，我们有 \[ P(|X - 80| \ge 8) \le \frac{\sigma^2}{8^2} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4} \] 因此， \[ P(|X - 80| \le 8) = 1 - P(|X - 80| \ge 8) \ge 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \] 所以， $ P(72 \le X \le 88) $ 的下限是 \[ \boxed{\frac{3}{4}} \]