题目

【例】求极限lim_(ntoinfty)((1)/(n^2)+1+(2)/(n^2)+2+...+(n)/(n^2)+n).

【例】求极限$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{2}{n^{2}+2}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n}\right).$

题目解答

答案

利用夹逼准则，对和式进行放缩： $$ \frac{k}{n^2+n} \leq \frac{k}{n^2+k} \leq \frac{k}{n^2+1}, \quad k=1,2,\ldots,n $$ 求和得： $$ \frac{1}{n^2+n} \sum_{k=1}^n k \leq \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k} \leq \frac{1}{n^2+1} \sum_{k=1}^n k $$ 计算和式： $$ \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} $$ 代入得： $$ \frac{n(n+1)}{2(n^2+n)} \leq \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k} \leq \frac{n(n+1)}{2(n^2+1)} $$ 求极限： $$ \lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)}{2(n^2+n)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(n+1)}{2(n^2+1)} = \frac{1}{2} $$ 由夹逼准则，原极限为： $$ \boxed{\frac{1}{2}} $$

解析

考查要点：本题主要考查数列极限的求解方法，特别是夹逼准则的应用，以及对和式进行合理放缩的能力。

解题核心思路：

  1. 观察通项结构：每一项为$\frac{k}{n^2 + k}$，当$n$很大时，分母近似为$n^2$，整体和式可近似为$\frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n k$，但需严格证明。
  2. 放缩处理：通过分母的范围$n^2 + 1 \leq n^2 + k \leq n^2 + n$，对每一项进行放缩，得到和式的上下界。
  3. 夹逼准则：计算上下界的极限，若两者相等，则原极限为此值。

破题关键点：

  • 分母的放缩方向：分母越大，分数值越小，因此$\frac{k}{n^2 + k}$的上下界需反向处理。
  • 和式的简化：利用等差数列求和公式$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$，将上下界转化为关于$n$的表达式。

步骤1：对通项进行放缩

对于每个$k=1,2,\ldots,n$，分母满足：
$n^2 + 1 \leq n^2 + k \leq n^2 + n$
因此，通项可放缩为：
$\frac{k}{n^2 + n} \leq \frac{k}{n^2 + k} \leq \frac{k}{n^2 + 1}$

步骤2：对和式求和

将不等式逐项相加，得到：
$\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + n} \leq \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + k} \leq \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + 1}$

步骤3：计算上下界表达式

利用等差数列求和公式$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$，上下界可化简为：
$\frac{1}{n^2 + n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} \leq \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + k} \leq \frac{1}{n^2 + 1} \cdot \frac{n(n+1)}{2}$

进一步化简：
$\frac{n(n+1)}{2(n^2 + n)} \leq \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + k} \leq \frac{n(n+1)}{2(n^2 + 1)}$

步骤4：求上下界的极限

当$n \to \infty$时：

  1. 下界：
    $\frac{n(n+1)}{2(n^2 + n)} = \frac{n^2 + n}{2n^2 + 2n} = \frac{1 + \frac{1}{n}}{2 + \frac{2}{n}} \to \frac{1}{2}$
  2. 上界：
    $\frac{n(n+1)}{2(n^2 + 1)} = \frac{n^2 + n}{2n^2 + 2} = \frac{1 + \frac{1}{n}}{2 + \frac{2}{n^2}} \to \frac{1}{2}$

步骤5：应用夹逼准则

由于上下界的极限均为$\frac{1}{2}$，根据夹逼准则，原极限为：
$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + k} = \frac{1}{2}$