7.设 :dfrac ({x)^2}(4)+(y)^2leqslant 1, 则 iint ((x)^2sin y+2)dxdy= ()-|||-B.2π-|||-A.4π-|||-D.0-|||-C.2

考查要点：本题主要考查二重积分的计算，特别是利用对称性简化积分的能力，以及椭圆区域面积的计算。

解题核心思路：

1. 拆分被积函数：将积分拆分为两个部分，分别处理。
2. 对称性判断：利用积分区域关于坐标轴的对称性，判断奇偶函数的积分结果是否为零。
3. 面积计算：直接计算椭圆区域的面积，并结合常数项积分求解。

破题关键点：

• 识别椭圆区域：由不等式 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 \leq 1$ 确定区域为椭圆，半长轴为2，半短轴为1。
• 奇函数积分性质：被积函数 $x^2 \sin y$ 是关于 $y$ 的奇函数，在对称区域上的积分为零。
• 面积公式应用：椭圆面积公式为 $\pi ab$，其中 $a=2$，$b=1$，面积为 $2\pi$。

步骤1：拆分积分
将积分拆分为两部分：
$\iint_D (x^2 \sin y + 2) \, dx dy = \iint_D x^2 \sin y \, dx dy + \iint_D 2 \, dx dy.$

步骤2：计算第一部分积分

• 对称性分析：积分区域 $D$ 关于 $y=0$ 对称，且 $x^2 \sin y$ 是关于 $y$ 的奇函数。
• 结论：奇函数在对称区域上的积分为零，即：
  $\iint_D x^2 \sin y \, dx dy = 0.$

步骤3：计算第二部分积分

• 几何意义：$\iint_D 2 \, dx dy = 2 \cdot \text{区域}D\text{的面积}$。
• 椭圆面积计算：椭圆面积公式为 $\pi ab = \pi \cdot 2 \cdot 1 = 2\pi$。
• 结果：
  $\iint_D 2 \, dx dy = 2 \cdot 2\pi = 4\pi.$

步骤4：合并结果
两部分积分相加：
$0 + 4\pi = 4\pi.$