题目
设z=x+iy，试讨论下列函数的连续性： (1) (z)= ^2+{y)^2} zneq 0 0 z=0 .
设z=x+iy，试讨论下列函数的连续性：
题目解答
答案
(1)显然f(z)在z≠0处是连续的； 若z沿直线y=kx趋于0则有故极限值随着k的变化而变化从而f(z)在z=0处不连续． 综上所述f(z)在复平面上除去原点外连续在原点处不连续． (2)显然f(z)在z≠0处是连续的； 综上所述f(z)在复平面处处连续．
(1)显然f(z)在z≠0处是连续的；若z沿直线y=kx趋于0,则有故极限值随着k的变化而变化,从而f(z)在z=0处不连续．综上所述,f(z)在复平面上除去原点外连续,在原点处不连续．(2)显然f(z)在z≠0处是连续的；综上所述,f(z)在复平面处处连续．
(1)显然f(z)在z≠0处是连续的；若z沿直线y=kx趋于0,则有故极限值随着k的变化而变化,从而f(z)在z=0处不连续．综上所述,f(z)在复平面上除去原点外连续,在原点处不连续．(2)显然f(z)在z≠0处是连续的；综上所述,f(z)在复平面处处连续．
解析
步骤 1：分析函数在z≠0处的连续性
对于函数f(z)在z≠0处，由于分子和分母都是连续函数，因此f(z)在z≠0处是连续的。
步骤 2：分析函数在z=0处的连续性
对于函数f(z)在z=0处，需要考虑极限是否存在且等于f(0)。我们分别考虑两个函数在z=0处的极限。
步骤 3：计算第一个函数在z=0处的极限
对于f(z)=$\left \{ \begin{matrix} \dfrac {2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}\quad z\neq 0\\ 0\quad z=0\end{matrix} \right.$，当z沿直线y=kx趋于0时，有
$$\lim_{z\to 0} f(z) = \lim_{x\to 0} \frac{2x(kx)}{x^2 + (kx)^2} = \lim_{x\to 0} \frac{2kx^2}{x^2(1+k^2)} = \frac{2k}{1+k^2}$$
由于极限值随着k的变化而变化，因此f(z)在z=0处不连续。
步骤 4：计算第二个函数在z=0处的极限
对于f(z)=$\left \{ \begin{matrix} \dfrac {{x}^{3}y}{{x}^{2}+{y}^{2}}\quad z\neq 0\\ 0\quad z=0\end{matrix} \right.$，当z沿任意路径趋于0时，有
$$\lim_{z\to 0} f(z) = \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^3y}{x^2+y^2} = 0$$
由于极限值与路径无关，因此f(z)在z=0处连续。
对于函数f(z)在z≠0处，由于分子和分母都是连续函数，因此f(z)在z≠0处是连续的。
步骤 2：分析函数在z=0处的连续性
对于函数f(z)在z=0处，需要考虑极限是否存在且等于f(0)。我们分别考虑两个函数在z=0处的极限。
步骤 3：计算第一个函数在z=0处的极限
对于f(z)=$\left \{ \begin{matrix} \dfrac {2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}\quad z\neq 0\\ 0\quad z=0\end{matrix} \right.$，当z沿直线y=kx趋于0时，有
$$\lim_{z\to 0} f(z) = \lim_{x\to 0} \frac{2x(kx)}{x^2 + (kx)^2} = \lim_{x\to 0} \frac{2kx^2}{x^2(1+k^2)} = \frac{2k}{1+k^2}$$
由于极限值随着k的变化而变化，因此f(z)在z=0处不连续。
步骤 4：计算第二个函数在z=0处的极限
对于f(z)=$\left \{ \begin{matrix} \dfrac {{x}^{3}y}{{x}^{2}+{y}^{2}}\quad z\neq 0\\ 0\quad z=0\end{matrix} \right.$，当z沿任意路径趋于0时，有
$$\lim_{z\to 0} f(z) = \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^3y}{x^2+y^2} = 0$$
由于极限值与路径无关，因此f(z)在z=0处连续。