题目

题型说明：答题说明：单选题，每题均有A、B、C、D四个备选答案，其中只有一个正确答案题，满分100分。10. (5.0分) lim_(xto0)x^3sin(1)/(x)=( )A 0B 1C -1D 不存在

题型说明：答题说明：单选题，每题均有A、B、C、D四个备选答案，其中只有一个正确答案 题，满分100分。 10. (5.0分) $\lim_{x\to0}x^{3}\sin\frac{1}{x}=( )$ A 0 B 1 C -1 D 不存在

题目解答

答案

当 $x \to 0$ 时，$x^3 \to 0$，而 $\sin\frac{1}{x}$ 在 $[-1, 1]$ 内有界。根据有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量的性质，可得 \[ \lim_{x \to 0} x^3 \sin\frac{1}{x} = 0. \] 具体分析： 1. $x^3$ 是无穷小量，即 $\lim_{x \to 0} x^3 = 0$。 2. $\sin\frac{1}{x}$ 在 $x \to 0$ 时 oscillates 于 $[-1, 1]$，但始终有界。 3. 有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量，故极限为 0。 答案：A 0

解析

本题考查无穷小量与有界函数乘积的极限性质。解题思路是先判断函数中各部分在$x\to0$时的性质，再根据有界函数与无穷小量乘积的性质来计算极限。

  1. 判断$x^3$在$x\to0$时的性质：
    根据极限的运算法则，对于幂函数$y = x^n$（$n$为正整数），当$x\to a$时，$\lim_{x\to a}x^n=a^n$。
    所以当$x\to0$时，$\lim_{x\to0}x^3 = 0^3 = 0$，即$x^3$是当$x\to0$时的无穷小量。
  2. 判断$\sin\frac{1}{x}$在$x\to0$时的性质：
    正弦函数$y = \sin t$的值域是$[-1,1]$，对于函数$y=\sin\frac{1}{x}$，无论$x$趋近于$0$时$\frac{1}{x}$如何变化，$\sin\frac{1}{x}$的值始终满足$-1\leqslant\sin\frac{1}{x}\leqslant1$，所以$\sin\frac{1}{x}$是有界函数。
  3. 根据有界函数与无穷小量乘积的性质计算极限：
    根据极限的性质：有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。
    因为$x^3$是当$x\to0$时的无穷小量，$\sin\frac{1}{x}$是有界函数，所以$\lim_{x\to0}x^{3}\sin\frac{1}{x}=0$。