设随机变量 X 的密度函数为 f_X(x) = } kx^2, & -1 < x < 1 0, & (其他) .(1) 计算常数 k；(2) 计算概率 P(0 < X leq 3)；(3) 求随机变量 X 的数学期望 E(X)；(4) 用分布函数法求 Y = 2X + 3 的概率密度函数.
设随机变量 $X$ 的密度函数为 $f_X(x) = \begin{cases} kx^2, & -1 < x < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$. (1) 计算常数 $k$； (2) 计算概率 $P(0 < X \leq 3)$； (3) 求随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)$； (4) 用分布函数法求 $Y = 2X + 3$ 的概率密度函数.
题目解答
答案
(1) 由概率密度函数性质，$\int_{-1}^{1} kx^2 \, dx = 1$，解得 $k = \frac{3}{2}$。
(2) $P(0 < X \leq 3) = \int_{0}^{1} \frac{3}{2} x^2 \, dx = \frac{1}{2}$。
(3) $E(X) = \int_{-1}^{1} x \cdot \frac{3}{2} x^2 \, dx = 0$。
(4) $Y = 2X + 3$，分布函数 $F_Y(y) = F_X\left(\frac{y-3}{2}\right)$，概率密度函数 $f_Y(y) = \frac{3(y-3)^2}{16}$（$1 < y < 5$），其余为0。
答案：
(1) $k = \frac{3}{2}$
(2) $P(0 < X \leq 3) = \frac{1}{2}$
(3) $E(X) = 0$
(4) $f_Y(y) = \begin{cases} \frac{3(y-3)^2}{16}, & 1 < y < 5, \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$
$\boxed{ \begin{array}{ccccc}\text{(1) } k &=& \frac{3}{2}, \\\text{(2) } P(0 < X \leq 3) &=& \frac{1}{2}, \\\text{(3) } E(X) &=& 0, \\\text{(4) } f_Y(y) &=& \begin{cases} \frac{3(y-3)^2}{16}, & 1 < y < 5, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} \end{array} }$
解析
本题主要考查了概率概率密度函数的性质、概率的计算、数学期望的计算以及随机变量函数的概率密度函数的求解。
(1) 计算常数 $k$
根据概率密度函数的性质，对于概率密度函数 $f_X(x)$，有 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$。
已知 $f_X(x) = \begin{cases} kx^2, & -1 < x < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，则：
$\begin{align*}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx&=\int_{-1}^{1} kx^2 \, dx&=1\\k\int_{-1}^{1} x^2 \, dx&=1\\k\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{-1}^{1}&=1\\k\left(\frac{1}{3}\times 1^3 - \frac{1}{3}\times (-1)^3\right)&=1\\\\k\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)&=1\\\frac{2}{3}k&=1\\k&=\frac{3}{2}\end{align*}$
(2) 计算概率 $P(0 < X \leq 3)$
根据概率的计算公式 $P(a < X \leq b)=\int_{a}^{b} f(x) \,dx$。
因为 $f(x)$ 在 $x>1$ 时为 $0$，所以 $P(0 < X \leq 3)=\int_{0}^{1} \frac{3}{2} x^2 \, dx$。
$\begin{align*}\int_{0}^{1} \frac{3}{2} x^2 \, dx&=\frac{3}{2}\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{1}\\&=\frac{3}{2}\times\left(\frac{1}{3}\times 1^3 - \frac{1}{3}\times 0^3\right)\\&=\frac{3}{2}\times\frac{1}{3}\\&=\frac{1}{2}\end{align*}$
(3) 求随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)$
根据数学期望的定义，对于连续型随机变量 $X$，其数学期望 $E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \, dx$。
则 $E(X)=\int_{-1^{1} x \cdot \frac{3}{2} x^2 \, dx=\frac{3}{2}\int_{-1}^{1} x^3 \, dx$。
因为被积函数 $y = x^3$ 是奇函数，且积分区间 $\int_{-1}^{1} x^3 \, dx$ 的积分区间关于原点对称，根据奇函数在对称区间上的积分为 $0$，所以 $\frac{3}{2}\int_{-1}^{1} x^3 \, dx = 0$。
(4) 用分布函数法求 $Y = 2X + 3$ 的概率密度函数
- ****求 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$：
$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(2X + 3\leq y)=P\left(X\leq\frac{y - 3}{2}\right)=F_X\left(\frac{y - 3}{2}\right)$。 - 求 $Y$ 的概率密度函数 $f_Y(y)$：
对 $F_Y(y)$ 求导，根据复合函数求导法则 $f_Y(y)=\frac{dF_Y(y)}{dy}=f_X\left(\frac{y - 3}{2}\right)\cdot\left(\frac{y - 3}{2}\right)'$。
已知 $f_X(x)=\begin{cases} \frac{3}{2}x^2, & -1 < x < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，则 $f_X\left(\frac{y - 3}{2}\right)=\begin{cases} \frac{3}{2}{2}\left(\frac{y - 3}{2}\right)^2, & -1 < \frac{y - 3}{2} < 1 \\ 0, & \text{其他}end{cases}$。
解不等式 $-1 < \frac{y - 3}{2} < 1$：
$-2 < y - 3 < 2$，即 $1 < y < 5$。
$\left(\frac{y - 3}{2}\right)'=\frac{1}{2}$，所以 (f_Y(y)=\begin{cases} \frac{3}{2}\left(\frac{y - 3}{2}\right)^2\cdot\frac{12, & 1 < y < 5 \ 0, & \text{其他}end{cases}=\begin{cases} \frac{3{16}(y - 3)^2, & 1 < y < 5 \ 0, & \text{其他}end{cases}。