题目
设三阶矩阵A的特征值为λ1=-1，λ2=1，λ3=3，对应的特征向量依次为： ζ1=(1，-1，0)T，ζ2=(1，-1，1)T，ζ3=(0，1，-1)T，求矩阵A．
设三阶矩阵A的特征值为λ1=-1，λ2=1，λ3=3，对应的特征向量依次为：
ζ1=(1，-1，0)T，ζ2=(1，-1，1)T，ζ3=(0，1，-1)T，求矩阵A．
题目解答
答案
解：由定义有Aζ1=λ1ζ1，Aζ2=λ2ζ2，Aζ3=λ3ζ3，
于是A(ζ1，ζ2，ζ3)=(Aζ1，Aζ2，Aζ3)=(λ1ζ1，λ2ζ2，λ3ζ3)，
即有
故所求
解析
步骤 1：构造特征向量矩阵
根据题目给出的特征向量，构造矩阵P，其列向量为特征向量ζ_1，ζ_2，ζ_3。
步骤 2：构造对角矩阵
根据题目给出的特征值，构造对角矩阵Λ，其对角线元素为特征值λ_1，λ_2，λ_3。
步骤 3：利用特征值和特征向量的关系
根据特征值和特征向量的关系，有A = PΛP^{-1}，其中P为特征向量矩阵，Λ为对角矩阵，P^{-1}为P的逆矩阵。
步骤 4：计算P^{-1}
计算矩阵P的逆矩阵P^{-1}。
步骤 5：计算矩阵A
根据A = PΛP^{-1}，计算矩阵A。
根据题目给出的特征向量，构造矩阵P，其列向量为特征向量ζ_1，ζ_2，ζ_3。
步骤 2：构造对角矩阵
根据题目给出的特征值，构造对角矩阵Λ，其对角线元素为特征值λ_1，λ_2，λ_3。
步骤 3：利用特征值和特征向量的关系
根据特征值和特征向量的关系，有A = PΛP^{-1}，其中P为特征向量矩阵，Λ为对角矩阵，P^{-1}为P的逆矩阵。
步骤 4：计算P^{-1}
计算矩阵P的逆矩阵P^{-1}。
步骤 5：计算矩阵A
根据A = PΛP^{-1}，计算矩阵A。