设二维随机变量（X，Y）的概率分布为YX -1 0 1-1 a 0 0.20 0.1 b 0.21 0 0.1 c其中a，b，c为常数，且X的数学期望EX=-0.2，P(Y≤0|X≤0)=0.5，记Z=X+Y，求：（Ⅰ）a，b，c的值；（Ⅱ）Z的概率分布；（Ⅲ）P(X=Z)．

本题考查二维随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件概率、数学期望的计算，以及随机变量函数的分布。核心思路是：

1. 利用概率和为1建立方程；
2. 通过边缘分布计算数学期望，建立方程；
3. 应用条件概率公式，建立方程；
4. 枚举法求随机变量函数的分布；
5. 事件等价转换求特定概率。

（Ⅰ）求$a$，$b$，$c$的值

步骤1：概率和为1

所有联合概率之和为1：
$a + 0.2 + 0.1 + b + 0.2 + 0.1 + c = 1 \implies a + b + c = 0.4 \quad \text{①}$

步骤2：计算数学期望$EX$

X的边缘分布为：
$\begin{array}{c|c|c}X & -1 & 0 & 1 \\\hlineP & a+0.2 & b+0.3 & c+0.1 \\\end{array}$
数学期望：
$EX = (-1)(a+0.2) + 0 \cdot (b+0.3) + 1 \cdot (c+0.1) = -a + c - 0.1$
由$EX = -0.2$得：
$-a + c - 0.1 = -0.2 \implies c = a - 0.1 \quad \text{②}$

步骤3：条件概率$P\{Y \leq 0 \mid X \leq 0\} = 0.5$

计算分子$P\{X \leq 0, Y \leq 0\} = a + 0.1 + b$，分母$P\{X \leq 0\} = a + b + 0.5$，由条件概率公式：
$\frac{a + b + 0.1}{a + b + 0.5} = 0.5 \implies a + b = 0.3 \quad \text{③}$

步骤4：联立方程组

联立①、②、③解得：
$a = 0.2, \quad b = 0.1, \quad c = 0.1$

（Ⅱ）求$Z = X + Y$的概率分布

步骤1：确定$Z$的可能取值

$Z$的取值范围为$-2, -1, 0, 1, 2$。

步骤2：计算各取值概率

• $P(Z = -2) = P(X = -1, Y = -1) = a = 0.2$
• $P(Z = -1) = P(X = -1, Y = 0) + P(X = 0, Y = -1) = 0 + 0.1 = 0.1$
• $P(Z = 0) = P(X = -1, Y = 1) + P(X = 0, Y = 0) + P(X = 1, Y = -1) = 0.2 + b + 0 = 0.3$
• $P(Z = 1) = P(X = 0, Y = 1) + P(X = 1, Y = 0) = 0.2 + 0.1 = 0.3$
• $P(Z = 2) = P(X = 1, Y = 1) = c = 0.1$

（Ⅲ）求$P\{X = Z\}$

步骤1：事件等价转换

$X = Z \implies X = X + Y \implies Y = 0$。

步骤2：计算$Y = 0$的概率

$P(Y = 0) = P(X = -1, Y = 0) + P(X = 0, Y = 0) + P(X = 1, Y = 0) = 0 + b + 0.1 = 0.2$