题目
设随机变量 X sim b(6, (1)/(2))，则 PX = 3 = ( )。A. (5)/(16)B. (3)/(16)C. (5)/(8)D. (7)/(16)
设随机变量 $X \sim b(6, \frac{1}{2})$，则 $P\{X = 3\} = (\ )$。
A. $\frac{5}{16}$
B. $\frac{3}{16}$
C. $\frac{5}{8}$
D. $\frac{7}{16}$
题目解答
答案
A. $\frac{5}{16}$
解析
步骤 1：确定二项分布的概率质量函数
根据二项分布的概率质量函数 $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$，其中 $n$ 是试验次数，$k$ 是成功次数，$p$ 是每次试验成功的概率。对于本题，$n=6$，$k=3$，$p=\frac{1}{2}$。
步骤 2：代入参数计算概率
代入 $n=6$，$k=3$，$p=\frac{1}{2}$，得到 $P(X = 3) = \binom{6}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \binom{6}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^6$。
步骤 3：计算组合数和概率
计算组合数 $\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!3!} = 20$，则 $P(X = 3) = 20 \times \frac{1}{64} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}$。
根据二项分布的概率质量函数 $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$，其中 $n$ 是试验次数，$k$ 是成功次数，$p$ 是每次试验成功的概率。对于本题，$n=6$，$k=3$，$p=\frac{1}{2}$。
步骤 2：代入参数计算概率
代入 $n=6$，$k=3$，$p=\frac{1}{2}$，得到 $P(X = 3) = \binom{6}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \binom{6}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^6$。
步骤 3：计算组合数和概率
计算组合数 $\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!3!} = 20$，则 $P(X = 3) = 20 \times \frac{1}{64} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}$。