题目
10. 离散型随机变量 X 分布律为右表, 则 (1) a=_________;(2(x)^2-3x+1)=_______________.(2(x)^2-3x+1)=
10. 离散型随机变量 X 分布律为右表, 则 (1) a=_________;
_______________.
题目解答
答案
首先,我们需要求出a的值。由于概率的和必须等于1,所以我们有:
现在我们知道了a的值,接下来我们计算
根据期望的线性性质,我们有:
所以我们需要计算E(X)和
现在我们可以计算
了:
所以,我们有:
解析
步骤 1：求解a的值
由于概率的和必须等于1，我们有：
$a + \dfrac{a}{2} + \dfrac{a}{4} + \dfrac{a}{8} = 1$
将等式左边合并同类项，得到：
$a(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8}) = 1$
化简得到：
$a(\dfrac{15}{8}) = 1$
解得：
$a = \dfrac{8}{15}$
步骤 2：计算$E(X)$
根据期望的定义，我们有：
$E(X) = 0 \times \dfrac{8}{15} + 1 \times \dfrac{4}{15} + 2 \times \dfrac{2}{15} + 3 \times \dfrac{1}{15}$
化简得到：
$E(X) = \dfrac{15}{15} = 1$
步骤 3：计算$E(X^2)$
根据期望的定义，我们有：
$E(X^2) = 0^2 \times \dfrac{8}{15} + 1^2 \times \dfrac{4}{15} + 2^2 \times \dfrac{2}{15} + 3^2 \times \dfrac{1}{15}$
化简得到：
$E(X^2) = \dfrac{21}{15} = \dfrac{7}{5}$
步骤 4：计算$E(2X^2 - 3X + 1)$
根据期望的线性性质，我们有：
$E(2X^2 - 3X + 1) = 2E(X^2) - 3E(X) + 1$
代入$E(X)$和$E(X^2)$的值，得到：
$E(2X^2 - 3X + 1) = 2 \times \dfrac{7}{5} - 3 \times 1 + 1$
化简得到：
$E(2X^2 - 3X + 1) = \dfrac{14}{5} - 3 + 1 = \dfrac{14 - 15 + 5}{5} = \dfrac{4}{5}$
由于概率的和必须等于1，我们有：
$a + \dfrac{a}{2} + \dfrac{a}{4} + \dfrac{a}{8} = 1$
将等式左边合并同类项，得到：
$a(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8}) = 1$
化简得到：
$a(\dfrac{15}{8}) = 1$
解得：
$a = \dfrac{8}{15}$
步骤 2：计算$E(X)$
根据期望的定义，我们有：
$E(X) = 0 \times \dfrac{8}{15} + 1 \times \dfrac{4}{15} + 2 \times \dfrac{2}{15} + 3 \times \dfrac{1}{15}$
化简得到：
$E(X) = \dfrac{15}{15} = 1$
步骤 3：计算$E(X^2)$
根据期望的定义，我们有：
$E(X^2) = 0^2 \times \dfrac{8}{15} + 1^2 \times \dfrac{4}{15} + 2^2 \times \dfrac{2}{15} + 3^2 \times \dfrac{1}{15}$
化简得到：
$E(X^2) = \dfrac{21}{15} = \dfrac{7}{5}$
步骤 4：计算$E(2X^2 - 3X + 1)$
根据期望的线性性质，我们有：
$E(2X^2 - 3X + 1) = 2E(X^2) - 3E(X) + 1$
代入$E(X)$和$E(X^2)$的值，得到：
$E(2X^2 - 3X + 1) = 2 \times \dfrac{7}{5} - 3 \times 1 + 1$
化简得到：
$E(2X^2 - 3X + 1) = \dfrac{14}{5} - 3 + 1 = \dfrac{14 - 15 + 5}{5} = \dfrac{4}{5}$