题目
已知y=x^x(x>0)，求y’．
已知$$y=x^x(x>0)$$，求$$y’$$．
题目解答
答案
易知$$y>0$$，则$$\ln y=\ln {{x}^{x}}=x\ln x$$．
等号两边对$$x$$求导得：
$$\left( \ln y \right)’=\left( x\ln x \right)’$$
$$\dfrac{1}{y}\cdot y’=\ln x+x\cdot \dfrac{1}{x}$$
$$y’=\left( \ln x+1 \right)\cdot y$$
$$y’={{x}^{x}}\ln x+{{x}^{x}}$$
解析
步骤 1：取对数
由于直接求导$$y=x^x$$比较困难，我们首先对等式两边取自然对数，得到$$\ln y = \ln x^x$$。
步骤 2：化简对数表达式
利用对数的性质，可以将$$\ln x^x$$化简为$$x\ln x$$，因此有$$\ln y = x\ln x$$。
步骤 3：对两边求导
对等式两边关于$$x$$求导，得到$$\frac{1}{y} \cdot y' = \ln x + x \cdot \frac{1}{x}$$。
步骤 4：求解$$y'$$
将$$\frac{1}{y} \cdot y' = \ln x + 1$$两边乘以$$y$$，得到$$y' = y(\ln x + 1)$$。
步骤 5：代入$$y$$的表达式
由于$$y = x^x$$，代入上式得到$$y' = x^x(\ln x + 1)$$。
由于直接求导$$y=x^x$$比较困难，我们首先对等式两边取自然对数，得到$$\ln y = \ln x^x$$。
步骤 2：化简对数表达式
利用对数的性质，可以将$$\ln x^x$$化简为$$x\ln x$$，因此有$$\ln y = x\ln x$$。
步骤 3：对两边求导
对等式两边关于$$x$$求导，得到$$\frac{1}{y} \cdot y' = \ln x + x \cdot \frac{1}{x}$$。
步骤 4：求解$$y'$$
将$$\frac{1}{y} \cdot y' = \ln x + 1$$两边乘以$$y$$，得到$$y' = y(\ln x + 1)$$。
步骤 5：代入$$y$$的表达式
由于$$y = x^x$$，代入上式得到$$y' = x^x(\ln x + 1)$$。