题目

[1999年真题]求极限lim_(xto0)(sqrt(1+tan x)-sqrt(1+sin x))/(xln(1+x)-x^2)

[1999年真题]求极限 $\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x\ln(1+x)-x^{2}}$

题目解答

答案

将分子有理化得： \[ \frac{\tan x - \sin x}{(x \ln(1+x) - x^2)(\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x})} \] 当 $x \to 0$ 时，$\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x} \to 2$，故原式近似为： \[ \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x \ln(1+x) - x^2} \] 使用泰勒展开： \[ \tan x - \sin x \approx \frac{x^3}{2}, \quad x \ln(1+x) - x^2 \approx -\frac{x^3}{2} \] 代入得： \[ \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{2}}{-\frac{x^3}{2}} = -\frac{1}{2} \] **答案：** $\boxed{-\frac{1}{2}}$

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理0/0型不定式的能力，涉及分子有理化、泰勒展开或等价无穷小替换的应用。

解题核心思路：

  1. 分子有理化：通过分子有理化消去根号，将原式转化为更易处理的形式。
  2. 简化分母：利用$x \to 0$时$\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x} \to 2$，将问题转化为仅需计算剩余部分的极限。
  3. 泰勒展开或等价无穷小：对分子$\tan x - \sin x$和分母$x \ln(1+x) - x^2$展开至足够阶数，提取主部项求极限。

破题关键点：

  • 分子有理化是简化表达式的突破口。
  • 泰勒展开或等价无穷小替换能快速确定分子和分母的主部项，避免复杂计算。

步骤1：分子有理化
原式分子为$\sqrt{1+\tan x} - \sqrt{1+\sin x}$，有理化后得：
$\frac{\tan x - \sin x}{(\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x})}.$

步骤2：简化分母
当$x \to 0$时，$\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x} \to \sqrt{1+0} + \sqrt{1+0} = 2$，因此原式近似为：
$\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan x - \sin x}{x \ln(1+x) - x^2}.$

步骤3：泰勒展开

  • 分子部分：
    $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$，
    $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$，
    因此$\tan x - \sin x = \frac{x^3}{2} + o(x^3)$。

  • 分母部分：
    $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$，
    $x \ln(1+x) = x^2 - \frac{x^3}{2} + o(x^3)$，
    因此$x \ln(1+x) - x^2 = -\frac{x^3}{2} + o(x^3)$。

步骤4：代入求极限
将展开式代入简化后的表达式：
$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x^3}{2}}{-\frac{x^3}{2}} = \frac{1}{2} \cdot (-1) = -\frac{1}{2}.$