题目
3、一长l,质量为m的匀质刚性细杆OA,可绕过其一端点O的水平轴在铅垂面内自由摆-|||-动(摩擦力可不计)。现将细杆从水平位置静止释放,求:(1)当细杆摆至图中θ角位置时,-|||-细杆所受力矩M为多少?以及此时细杆角加速度β的大小?(2)当细杆运动到 theta =pi 2 时,-|||-细杆角速度w为多少?(细杆对过O转轴的转动惯量为 dfrac (1)(3)m(l)^2 )-|||-o A-|||-θ
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算细杆所受力矩M
细杆在θ角位置时，重力对转轴O的力矩为M = F × r，其中F为重力，r为力臂。由于细杆是匀质的，其重心位于细杆的中点，因此力臂r = l/2。重力F = mg，所以力矩M = mg × l/2 = mgl/2。
步骤 2：计算细杆的角加速度β
根据转动定律，M = Iβ，其中I为细杆对转轴O的转动惯量，β为角加速度。已知I = 1/3ml^2，所以β = M/I = (mgl/2) / (1/3ml^2) = 3g/(2l)。
步骤 3：计算细杆运动到θ = π/2时的角速度ω
根据机械能守恒定律，细杆从水平位置到θ = π/2位置的重力势能变化等于其动能变化。重力势能变化ΔEp = mg(l/2)(1 - cosθ)，动能变化ΔEk = 1/2Iω^2。当θ = π/2时，cosθ = 0，所以ΔEp = mg(l/2)，ΔEk = 1/2(1/3ml^2)ω^2。根据机械能守恒定律，ΔEp = ΔEk，所以mg(l/2) = 1/2(1/3ml^2)ω^2，解得ω = √(3g/l)。
细杆在θ角位置时，重力对转轴O的力矩为M = F × r，其中F为重力，r为力臂。由于细杆是匀质的，其重心位于细杆的中点，因此力臂r = l/2。重力F = mg，所以力矩M = mg × l/2 = mgl/2。
步骤 2：计算细杆的角加速度β
根据转动定律，M = Iβ，其中I为细杆对转轴O的转动惯量，β为角加速度。已知I = 1/3ml^2，所以β = M/I = (mgl/2) / (1/3ml^2) = 3g/(2l)。
步骤 3：计算细杆运动到θ = π/2时的角速度ω
根据机械能守恒定律，细杆从水平位置到θ = π/2位置的重力势能变化等于其动能变化。重力势能变化ΔEp = mg(l/2)(1 - cosθ)，动能变化ΔEk = 1/2Iω^2。当θ = π/2时，cosθ = 0，所以ΔEp = mg(l/2)，ΔEk = 1/2(1/3ml^2)ω^2。根据机械能守恒定律，ΔEp = ΔEk，所以mg(l/2) = 1/2(1/3ml^2)ω^2，解得ω = √(3g/l)。