确定下列函数的单调区间:-|||-(1) =2(x)^3-6(x)^2-18x-7 ;-|||-(2) =2x+dfrac (8)(x)(xgt 0);-|||-(3) =dfrac (10)(4{x)^3-9(x)^2+6x}-|||-(4) =ln (x+sqrt (1+{x)^2});

确定函数单调区间的核心思路是通过求导找到导数的符号变化。具体步骤如下：

1. 求导：计算函数的导数；
2. 找临界点：解方程$f'(x)=0$，确定驻点；
3. 划分区间：用临界点将定义域分成若干区间；
4. 判断符号：在每个区间内判断导数的正负，确定单调性。

关键点：

• 定义域：注意分母、根号等限制；
• 导数符号分析：通过测试点或因式分解判断；
• 结果表述：区间端点是否包含临界点。

(1) $y=2x^3-6x^2-18x-7$

求导

$y'=6x^2-12x-18=6(x-3)(x+1)$

找临界点

解$6(x-3)(x+1)=0$，得$x=-1$和$x=3$

划分区间

$(-\infty, -1]$，$[-1, 3]$，$[3, +\infty)$

判断符号

• $x < -1$：取$x=-2$，$y'=6(-2-3)(-2+1)=6(-5)(-1)=30>0$，单调递增
• $-1 < x < 3$：取$x=0$，$y'=6(0-3)(0+1)=6(-3)(1)=-18<0$，单调递减
• $x > 3$：取$x=4$，$y'=6(4-3)(4+1)=6(1)(5)=30>0$，单调递增

(2) $y=2x+\dfrac{8}{x}$（$x>0$）

求导

$y'=2-\dfrac{8}{x^2}=\dfrac{2x^2-8}{x^2}=\dfrac{2(x-2)(x+2)}{x^2}$

找临界点

解$2(x-2)(x+2)=0$，得$x=2$（舍去负解）

划分区间

$(0, 2]$，$[2, +\infty)$

判断符号

• $0 < x < 2$：取$x=1$，$y'=2-\dfrac{8}{1}= -6<0$，单调递减
• $x > 2$：取$x=3$，$y'=2-\dfrac{8}{9}=\dfrac{10}{9}>0$，单调递增

(3) $y=\dfrac{10}{4x^3-9x^2+6x}$

定义域

分母$4x^3-9x^2+6x \neq 0$，解得$x=0$（实数范围内唯一解）

求导

$y'=-\dfrac{10(12x^2-18x+6)}{(4x^3-9x^2+6x)^2}$

找临界点

解$12x^2-18x+6=0$，得$x=\dfrac{1}{2}$和$x=1$

划分区间

$(-\infty, 0)$，$(0, \dfrac{1}{2}]$，$[\dfrac{1}{2}, 1]$，$[1, +\infty)$

判断符号

• $x < 0$：导数为负，单调递减
• $0 < x < \dfrac{1}{2}$：导数为负，单调递减
• $\dfrac{1}{2} < x < 1$：导数为正，单调递增
• $x > 1$：导数为负，单调递减

(4) $y=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$

求导

$y'=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} > 0$（恒成立）

结论

函数在$(-\infty, +\infty)$上单调递增