题目
【单选题】已知一个随机变量的分布律为 P(X=k) = c/k!,k=0,1,2,3,......, 则c=_______。A. 1 B. e C. 1/e D. 1/(2e)
【单选题】已知一个随机变量的分布律为 P{X=k} = c/k!,k=0,1,2,3,......, 则c=_______。
A. 1
B. e
C. 1/e
D. 1/(2e)
A. 1
B. e
C. 1/e
D. 1/(2e)
题目解答
答案
1/e
解析
步骤 1：确定分布律的性质
分布律 P{X=k} = c/k!，k=0,1,2,3,......，表示随机变量X的概率分布。根据概率分布的性质，所有可能取值的概率之和必须等于1，即：
\[ \sum_{k=0}^{\infty} P{X=k} = 1 \]
步骤 2：计算概率之和
将给定的分布律代入上述性质中，得到：
\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{c}{k!} = 1 \]
步骤 3：识别级数
注意到，上述级数是指数函数e的泰勒级数展开式，即：
\[ e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} \]
当x=1时，有：
\[ e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \]
步骤 4：求解c的值
将步骤3的结果代入步骤2的等式中，得到：
\[ c \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = c \cdot e = 1 \]
从而解得：
\[ c = \frac{1}{e} \]
分布律 P{X=k} = c/k!，k=0,1,2,3,......，表示随机变量X的概率分布。根据概率分布的性质，所有可能取值的概率之和必须等于1，即：
\[ \sum_{k=0}^{\infty} P{X=k} = 1 \]
步骤 2：计算概率之和
将给定的分布律代入上述性质中，得到：
\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{c}{k!} = 1 \]
步骤 3：识别级数
注意到，上述级数是指数函数e的泰勒级数展开式，即：
\[ e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} \]
当x=1时，有：
\[ e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \]
步骤 4：求解c的值
将步骤3的结果代入步骤2的等式中，得到：
\[ c \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = c \cdot e = 1 \]
从而解得：
\[ c = \frac{1}{e} \]