题目

12 填空 (3分) 设数列(x_{n)}的一般项x_(n)=(cosfrac(npi)/(2))(n)，问lim_(ntoinfty)x_(n)=_.

12 填空 (3分) 设数列{x_{n}}的一般项$x_{n}=\frac{\cos\frac{n\pi}{2}}{n}$，问$\lim_{n\to\infty}x_{n}=\_.$

题目解答

答案

根据题意，数列的一般项为 $x_n = \frac{\cos \frac{n\pi}{2}}{n}$。
首先，观察 $\cos \frac{n\pi}{2}$ 的取值规律：

  • 当 $n = 1$ 时，$\cos \frac{\pi}{2} = 0$；
  • 当 $n = 2$ 时，$\cos \pi = -1$；
  • 当 $n = 3$ 时，$\cos \frac{3\pi}{2} = 0$；
  • 当 $n = 4$ 时，$\cos 2\pi = 1$；
  • 以此类推，$\cos \frac{n\pi}{2}$ 的值在 $0, -1, 0, 1$ 之间周期性变化。

因此，$x_n$ 的绝对值满足：
$|x_n| = \left| \frac{\cos \frac{n\pi}{2}}{n} \right| \leq \frac{1}{n}$
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \to 0$，根据夹逼定理，可得：
$\lim_{n \to \infty} x_n = 0$

答案：
$\lim_{n \to \infty} x_n = 0$。

解析

考查要点：本题主要考查数列极限的计算，涉及三角函数的周期性、数列的收敛性以及夹逼定理的应用。

解题核心思路：

  1. 分析分子部分：观察$\cos\frac{n\pi}{2}$的取值规律，发现其值在$0, -1, 0, 1$之间周期性变化，绝对值不超过$1$。
  2. 分母趋势：分母$n$随$n$增大无限增长，导致整体分式绝对值被$\frac{1}{n}$控制。
  3. 应用夹逼定理：通过比较$\frac{1}{n}$的极限为$0$，得出原数列的极限也为$0$。

破题关键点：

  • 周期性分析：明确$\cos\frac{n\pi}{2}$的周期性规律，确定分子的取值范围。
  • 分母主导作用：分母的增长速度使得分子的有限波动不影响整体趋近于$0$。

  1. 分析分子$\cos\frac{n\pi}{2}$的取值：

    • 当$n=1$时，$\cos\frac{\pi}{2}=0$；
    • 当$n=2$时，$\cos\pi=-1$；
    • 当$n=3$时，$\cos\frac{3\pi}{2}=0$；
    • 当$n=4$时，$\cos2\pi=1$；
    • 以此类推，$\cos\frac{n\pi}{2}$的值周期性地在$0, -1, 0, 1$之间变化，绝对值不超过$1$。

  2. 分式整体分析：

    • 分子绝对值最大为$1$，分母$n$随$n$增大无限增长，因此有：
      $\left|\frac{\cos\frac{n\pi}{2}}{n}\right| \leq \frac{1}{n}.$

  3. 应用夹逼定理：

    • 当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n} \to 0$，且$\frac{\cos\frac{n\pi}{2}}{n}$的绝对值被$\frac{1}{n}$控制，因此：
      $\lim_{n \to \infty} \frac{\cos\frac{n\pi}{2}}{n} = 0.$