题目
某地的一种特色纪念品在旅游旺季十分畅销，有商家发现，进价为每个40元的纪念品，当售价定为44元时，每天可售出300个，售价每上涨1元，每天销量减少10个。现商家决定提价销售，若要使销售利润达到最大，则售价应为：A. 51B. 52C. 54D. 57
某地的一种特色纪念品在旅游旺季十分畅销，有商家发现，进价为每个40元的纪念品，当售价定为44元时，每天可售出300个，售价每上涨1元，每天销量减少10个。现商家决定提价销售，若要使销售利润达到最大，则售价应为：
- A. 51
- B. 52
- C. 54
- D. 57
题目解答
答案
D
解析
步骤 1：定义变量
设售价为 \(x\) 元，销量为 \(y\) 个，利润为 \(P\) 元。根据题意，当售价为44元时，销量为300个，售价每上涨1元，销量减少10个。因此，销量 \(y\) 与售价 \(x\) 的关系为 \(y = 300 - 10(x - 44)\)。
步骤 2：建立利润函数
利润 \(P\) 为售价与进价之差乘以销量，即 \(P = (x - 40) \times y\)。将销量 \(y\) 的表达式代入，得到 \(P = (x - 40) \times [300 - 10(x - 44)]\)。
步骤 3：化简利润函数
化简利润函数 \(P = (x - 40) \times [300 - 10(x - 44)]\)，得到 \(P = (x - 40) \times (740 - 10x)\)。进一步化简，得到 \(P = -10x^2 + 1140x - 29600\)。
步骤 4：求利润函数的最大值
利润函数 \(P = -10x^2 + 1140x - 29600\) 是一个开口向下的二次函数，其最大值在顶点处取得。顶点的横坐标 \(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{1140}{2 \times (-10)} = 57\)。因此，当售价为57元时，利润达到最大。
设售价为 \(x\) 元，销量为 \(y\) 个，利润为 \(P\) 元。根据题意，当售价为44元时，销量为300个，售价每上涨1元，销量减少10个。因此，销量 \(y\) 与售价 \(x\) 的关系为 \(y = 300 - 10(x - 44)\)。
步骤 2：建立利润函数
利润 \(P\) 为售价与进价之差乘以销量，即 \(P = (x - 40) \times y\)。将销量 \(y\) 的表达式代入，得到 \(P = (x - 40) \times [300 - 10(x - 44)]\)。
步骤 3：化简利润函数
化简利润函数 \(P = (x - 40) \times [300 - 10(x - 44)]\)，得到 \(P = (x - 40) \times (740 - 10x)\)。进一步化简，得到 \(P = -10x^2 + 1140x - 29600\)。
步骤 4：求利润函数的最大值
利润函数 \(P = -10x^2 + 1140x - 29600\) 是一个开口向下的二次函数，其最大值在顶点处取得。顶点的横坐标 \(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{1140}{2 \times (-10)} = 57\)。因此，当售价为57元时，利润达到最大。