题目
设 P(A | B)= P(B | A)= 1/4，且 P(overline(A))= 2/3，则(）。A. 事件A, B不独立且 P(A + B)= 7/12B. 事件A, B相互独立且 P(A + B)= 5/12C. 事件A, B相互独立且 P(A + B)= 7/12D. 事件A, B不独立且 P(A + B)= 5/12
设 $P(A | B)= P(B | A)= 1/4$，且 $P(\overline{A})= 2/3$，则(）。
A. 事件A, B不独立且 $P(A + B)= 7/12$
B. 事件A, B相互独立且 $P(A + B)= 5/12$
C. 事件A, B相互独立且 $P(A + B)= 7/12$
D. 事件A, B不独立且 $P(A + B)= 5/12$
题目解答
答案
A. 事件A, B不独立且 $P(A + B)= 7/12$
解析
步骤 1：计算 $P(A)$
已知 $P(\overline{A}) = \frac{2}{3}$，则 $P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$。
步骤 2：计算 $P(AB)$
利用条件概率公式 $P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$，已知 $P(A|B) = \frac{1}{4}$，则 $P(AB) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$。
步骤 3：计算 $P(B)$
利用条件概率公式 $P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$，已知 $P(B|A) = \frac{1}{4}$，则 $P(B) = \frac{P(AB)}{P(A|B)} = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{4}} = \frac{1}{3}$。
步骤 4：判断事件A和B是否独立
计算 $P(A)P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$，与 $P(AB) = \frac{1}{12}$ 不相等，故事件A和B不独立。
步骤 5：计算 $P(A+B)$
利用概率加法公式 $P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)$，则 $P(A+B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{7}{12}$。
已知 $P(\overline{A}) = \frac{2}{3}$，则 $P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$。
步骤 2：计算 $P(AB)$
利用条件概率公式 $P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$，已知 $P(A|B) = \frac{1}{4}$，则 $P(AB) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$。
步骤 3：计算 $P(B)$
利用条件概率公式 $P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$，已知 $P(B|A) = \frac{1}{4}$，则 $P(B) = \frac{P(AB)}{P(A|B)} = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{4}} = \frac{1}{3}$。
步骤 4：判断事件A和B是否独立
计算 $P(A)P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$，与 $P(AB) = \frac{1}{12}$ 不相等，故事件A和B不独立。
步骤 5：计算 $P(A+B)$
利用概率加法公式 $P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)$，则 $P(A+B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{7}{12}$。