某次大型体育运动会有1000名运动员参加，其中有100人服用了违禁药品。假定在使用者中，有90人的药物检查呈阳性，而在未使用者中也有5人检验结果显示阳性。如果一个运动员的药物检查结果是阳性，求这名运动员确实使用违禁药品的概率。

考查要点：本题主要考查条件概率的应用，特别是贝叶斯定理的理解与运用。需要学生能够将实际问题转化为概率模型，并正确计算后验概率。

解题核心思路：

1. 明确事件定义：设事件$A$为“服用违禁药品”，事件$B$为“检测结果阳性”。
2. 确定已知条件：通过题目给出的数据，计算出$P(A)$、$P(B|A)$、$P(B|\overline{A})$。
3. 应用贝叶斯定理：通过全概率公式计算$P(B)$，再代入贝叶斯公式求$P(A|B)$。
4. 简化思路：也可直接通过实际阳性人数的比例计算，验证结果一致性。

破题关键点：

• 正确识别事件关系，区分条件概率与联合概率。
• 全概率公式的准确应用，避免混淆分子与分母的基数。

步骤1：定义事件与已知条件

• 设事件$A$为“运动员服用违禁药品”，事件$B$为“检测结果阳性”。
• 已知：
  • 总人数$1000$人，其中服用者$100$人，未服用者$900$人。
  • 服用者中阳性人数$90$，未服用者中阳性人数$5$。
  • 因此：
    $P(A) = \frac{100}{1000} = 0.1, \quad P(B|A) = \frac{90}{100} = 0.9$
    $P(B|\overline{A}) = \frac{5}{900} = \frac{1}{180} \approx 0.00556$

步骤2：计算总阳性概率$P(B)$
根据全概率公式：
$P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|\overline{A})P(\overline{A})$
代入数值：
$P(B) = 0.9 \times 0.1 + \frac{1}{180} \times 0.9 = 0.09 + 0.005 = 0.095$

步骤3：应用贝叶斯定理
所求概率为：
$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} = \frac{0.9 \times 0.1}{0.095} = \frac{0.09}{0.095} = \frac{18}{19}$

验证思路（直接计算阳性比例）

• 总阳性人数：$90 + 5 = 95$
• 其中真正服用者$90$人，因此概率为：
  $\frac{90}{95} = \frac{18}{19}$
  结果一致，验证正确性。