题目
1.证明：f(x)在E上可测的充要条件是对任一有理数r，集合E[ f > r ]可测.如果集合E[ f = r ]可测，问f(x)是否可测?
1.证明：f(x)在E上可测的充要条件是对任一有理数r，集合E[ f > r ]可测.如果集合E[ f = r ]可测，问f(x)是否可测?
题目解答
答案
**必要性**：若 $ f(x) $ 在 $ E $ 上可测，则对任意实数 $ a $，集合 $ E[f > a] $ 可测。特别地，对任意有理数 $ r $，$ E[f > r] $ 可测。
**充分性**：若对任意有理数 $ r $，$ E[f > r] $ 可测，对任意实数 $ a $，取有理数列 $ \{r_n\} $ 满足 $ r_n > a $ 且 $ r_n \to a $，则
\[
E[f > a] = \bigcup_{n=1}^\infty E[f > r_n]
\]
可测，故 $ f(x) $ 可测。
**反例**：设 $ E = (-\infty, \infty) $，$ Z $ 为不可测集，定义
\[
f(x) =
\begin{cases}
\sqrt{3} & x \in Z, \\
\sqrt{2} & x \notin Z,
\end{cases}
\]
则对任一有理数 $ r $，$ E[f = r] = \varnothing $ 可测，但 $ E[f > \sqrt{2}] = Z $ 不可测，故 $ f(x) $ 不可测。
**答案**：
\[
\boxed{
\begin{array}{l}
\text{f(x)在E上可测的充要条件是对任一有理数r，集合 } E[f > r] \text{ 可测。} \\
\text{如果集合 } E[f = r] \text{ 可测，f(x)不一定可测。}
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：必要性证明
若 $ f(x) $ 在 $ E $ 上可测，则对任意实数 $ a $，集合 $ E[f > a] $ 可测。特别地，对任意有理数 $ r $，$ E[f > r] $ 可测。
步骤 2：充分性证明
若对任意有理数 $ r $，$ E[f > r] $ 可测，对任意实数 $ a $，取有理数列 $ \{r_n\} $ 满足 $ r_n > a $ 且 $ r_n \to a $，则 \[ E[f > a] = \bigcup_{n=1}^\infty E[f > r_n] \] 可测，故 $ f(x) $ 可测。
步骤 3：反例
设 $ E = (-\infty, \infty) $，$ Z $ 为不可测集，定义 \[ f(x) = \begin{cases} \sqrt{3} & x \in Z, \\ \sqrt{2} & x \notin Z, \end{cases} \] 则对任一有理数 $ r $，$ E[f = r] = \varnothing $ 可测，但 $ E[f > \sqrt{2}] = Z $ 不可测，故 $ f(x) $ 不可测。
若 $ f(x) $ 在 $ E $ 上可测，则对任意实数 $ a $，集合 $ E[f > a] $ 可测。特别地，对任意有理数 $ r $，$ E[f > r] $ 可测。
步骤 2：充分性证明
若对任意有理数 $ r $，$ E[f > r] $ 可测，对任意实数 $ a $，取有理数列 $ \{r_n\} $ 满足 $ r_n > a $ 且 $ r_n \to a $，则 \[ E[f > a] = \bigcup_{n=1}^\infty E[f > r_n] \] 可测，故 $ f(x) $ 可测。
步骤 3：反例
设 $ E = (-\infty, \infty) $，$ Z $ 为不可测集，定义 \[ f(x) = \begin{cases} \sqrt{3} & x \in Z, \\ \sqrt{2} & x \notin Z, \end{cases} \] 则对任一有理数 $ r $，$ E[f = r] = \varnothing $ 可测，但 $ E[f > \sqrt{2}] = Z $ 不可测，故 $ f(x) $ 不可测。