【例1】下列广义积分发散的是A. int_(-1)^1 (dx)/(sin x)B. int_(-1)^1 (dx)/(sqrt(1-x^2)).C. int_(0)^+infty e^-x^(2)dxD. int_(2)^+infty (dx)/(xln^2)x.

本题主要考察广义积分的收敛性判断，需区分无穷积分（积分区间无限）和瑕积分（被积函数在有限区间内有无穷间断点）的不同判别方法。

选项A：$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sin x}$

• 类型：瑕积分，瑕点为$x=0$（$\sin 0=0$，分母为0）。
• 分析：在$x\to 0$时，$\sin x\sim x$，故$\frac{1}{\sin x}\sim \frac{1}{x}$。
• 比较判别法：$\int_{-1}^{1}\frac{dx}{|x|}$发散（$p=1$的$p$-积分发散），且$\frac{1}{\sin x}$与$\frac{1}{x}$在$x\to 0$时等价，因此原积分发散。

选项B：$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

• 类型：瑕积分，瑕点为$x=\pm1$（分母$\sqrt{1-x^2}\to 0$）。
• 计算：原函数为$\arcsin x$，则$\lim_{\epsilon\to 0^+}\left[\arcsin(1-\epsilon)-\arcsin(-1+\epsilon)\right]=\frac{\pi}{2}-(-\frac{\pi}{2})=\pi$，积分收敛。

选项C：$\int_{0}^{+\infty} e^{-x^2}dx$

• 类型：无穷积分。
• 性质：该积分是概率积分，已知收敛于$\frac{\sqrt{\pi}}{2}$，收敛。

选项D：$\int_{2}^{+\infty} \frac{dx}{x\ln^2 x}$

• 类型：无穷积分。
• 计算：换元$u=\ln x$，$du=\frac{1}{x}dx$，积分变为$\int_{\ln2}^{+\infty}\frac{du}{u^2}=\left[-\frac{1}{u}\right]_{\ln2}^{+\infty}=\frac{1}{\ln2}$，收敛。