[题目]求 lim _(xarrow 0)(dfrac (1)({sin )^2x}-dfrac ({cos )^2x}({x)^2})

步骤 1：等价无穷小替换
由于当 $x \rightarrow 0$ 时，$\sin x \sim x$，因此 ${\sin }^{2}x \sim {x}^{2}$。同时，$\cos x \sim 1$，因此 ${\cos }^{2}x \sim 1$。利用这些等价无穷小替换，可以简化原极限表达式。

步骤 2：简化表达式
将等价无穷小替换应用到原极限表达式中，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}(\dfrac {1}{{\sin }^{2}x}-\dfrac {{\cos }^{2}x}{{x}^{2}}) = \lim _{x\rightarrow 0}(\dfrac {1}{{x}^{2}}-\dfrac {1}{{x}^{2}}) = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}{{x}^{4}}$。

步骤 3：进一步简化
由于 ${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x = \dfrac {1}{4}{\sin }^{2}2x$，因此原极限表达式可以进一步简化为 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}-\dfrac {1}{4}{\sin }^{2}2x}{{x}^{4}}$。

步骤 4：洛必达法则
由于分子和分母同时趋于0，可以应用洛必达法则，即对分子和分母分别求导，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2x-\dfrac {1}{2}\sin 4x}{4{x}^{3}}$。

步骤 5：再次应用洛必达法则
由于分子和分母同时趋于0，再次应用洛必达法则，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1-\cos 4x}{6{x}^{2}}$。

步骤 6：利用等价无穷小
由于当 $x \rightarrow 0$ 时，$1-\cos 4x \sim \dfrac {{(4x)}^{2}}{2}=8{x}^{2}$，因此原极限表达式可以简化为 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {8{x}^{2}}{6{x}^{2}}=\dfrac {4}{3}$。