函数f(x)=x^3-3x^2在[-1,2]上的最大值、最小值分别为( )。A. 4; -1B. 0; -4C. 4; -4D. 4; 0

本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值。解题思路是先对函数求导，找出函数的驻点，再将驻点和区间端点的函数值分别计算出来，最后比较这些值的大小，从而确定函数在该区间上的最大值和最小值。

1. 求函数$f(x)$的导数$f^\prime(x)$：
   已知$f(x)=x^3 - 3x^2$，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，对$f(x)$求导可得：
   $f^\prime(x)=(x^3 - 3x^2)^\prime=(x^3)^\prime-(3x^2)^\prime=3x^2 - 6x$。
2. 求函数$f(x)$的驻点：
   令$f^\prime(x)=0$，即$3x^2 - 6x = 0$，提取公因式$3x$可得$3x(x - 2)=0$。
   则$3x = 0$或$x - 2 = 0$，解得$x = 0$或$x = 2$，这两个点即为函数$f(x)$的驻点。
3. 计算驻点和区间端点的函数值：
   • 当$x = -1$时，$f(-1)=(-1)^3 - 3\times(-1)^2=-1 - 3=-4$。
   • 当$x = 0$时，$f(0)=0^3 - 3\times0^2=0$。
   • 当$x = 2$时，$f(2)=2^3 - 3\times2^2=8 - 12=-4$。
4. 比较函数值大小，确定最大值和最小值：
   比较$f(-1)= -4$，$f(0)= 0$，$f(2)= -4$的大小，可得$-4\lt0$。
   所以$f(x)$在$[-1,2]$上的最大值为$0$，最小值为$-4$。