题目

已知，是同阶方阵，下列说法正确的是( )A.若，都可逆，则也可逆B.若，都可逆，则也可逆C.若，都可逆，则也可逆D.若可逆，则也可逆(为任意常数)

已知 $A$ ， $B$ 是同阶方阵，下列说法正确的是( )

A.若 $A$ ， $B$ 都可逆，则 $A+B$ 也可逆

B.若 $A$ ， $B$ 都可逆，则 $AB$ 也可逆

C.若 $A$ ， $B$ 都可逆，则 $A-B$ 也可逆

D.若 $A$ 可逆，则 $kA$ 也可逆( $k$ 为任意常数)

题目解答

答案

解：

对于A，若 $A$ ， $B$ 都可逆，令 $A=\left ( {\begin{matrix} 1&0 \newline 0&1 \end{matrix}} \right )$ ， $B=\left ( {\begin{matrix} -1&0 \newline 0&-1 \end{matrix}} \right )$ ，此时 $A+B$ 不可逆，故选项A错误；

对于B，若 $A$ ， $B$ 都可逆，则 $\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ ，所以 $AB$ 也可逆，故选项B正确；

对于C，若 $A$ ， $B$ 都可逆，则 $A-B$ 不定可逆，故选项C错误；

对于D，若 $A$ 可逆，当 $k=0$ 时， $kA$ 不可逆，故选项D错误.

故答案为：B.

解析

步骤 1：分析选项A
若，都可逆，我们不能直接断定A+B也可逆。例如，令A= 0 1 1 0，B= -1 0 0 -1，此时A+B= -1 1 1 -1，行列式为0，不可逆。因此，选项A错误。
步骤 2：分析选项B
若，都可逆，则AB也可逆。因为若A和B都可逆，那么存在A的逆矩阵${A}^{-1}$和B的逆矩阵${B}^{-1}$，使得${(AB)}^{-1}={B}^{-1}{A}^{-1}$。因此，选项B正确。
步骤 3：分析选项C
若，都可逆，我们不能直接断定A-B也可逆。例如，令A= 1 0 0 1，B= 1 0 0 1，此时A-B= 0 0 0 0，不可逆。因此，选项C错误。
步骤 4：分析选项D
若可逆，当k=0时，kA=0，不可逆。因此，选项D错误。