求下列不定积分:-|||-int (e)^sqrt (3x+9)dx.

考查要点：本题主要考查不定积分的换元法和分部积分法的综合应用，特别是处理指数函数与根式复合的积分形式。

解题核心思路：

1. 换元法：通过令 $u = \sqrt{3x + 9}$，将原积分转化为关于 $u$ 的积分，简化被积表达式。
2. 分部积分法：对转化后的积分 $\int u e^u \, du$，利用分部积分法进一步求解。
3. 代换回原变量：将结果中的 $u$ 替换为 $\sqrt{3x + 9}$，得到最终答案。

破题关键点：

• 选择恰当的换元：通过根式部分 $\sqrt{3x + 9}$ 进行换元，简化积分形式。
• 分部积分的正确应用：合理选择分部积分中的 $u$ 和 $dv$，确保计算过程无误。

换元法转化积分

1. 设换元：令 $u = \sqrt{3x + 9}$，则 $u^2 = 3x + 9$，解得 $x = \dfrac{1}{3}(u^2 - 9)$。
2. 求微分 $dx$：对 $x$ 关于 $u$ 求导，得 $\dfrac{dx}{du} = \dfrac{2u}{3}$，因此 $dx = \dfrac{2u}{3} \, du$。
3. 代入原积分：
   $\int e^{\sqrt{3x + 9}} \, dx = \int e^u \cdot \dfrac{2u}{3} \, du = \dfrac{2}{3} \int u e^u \, du$

分部积分法求解

1. 分部积分公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$。
   • 设 $v = e^u$，则 $dv = e^u \, du$；
   • 设 $du = du$，则 $u = u$。
2. 应用公式：
   $\dfrac{2}{3} \int u e^u \, du = \dfrac{2}{3} \left( u e^u - \int e^u \, du \right)$
3. 计算剩余积分：
   $\int e^u \, du = e^u + C$
4. 整理结果：
   $\dfrac{2}{3} \left( u e^u - e^u \right) + C = \dfrac{2}{3} e^u (u - 1) + C$

代换回原变量

将 $u = \sqrt{3x + 9}$ 代入，得最终结果：
$\dfrac{2}{3} e^{\sqrt{3x + 9}} \left( \sqrt{3x + 9} - 1 \right) + C$