8. (10.0分)二次型f(x_(1),x_(2),x_(3))=x_(1)^2+4x_(2)^2+4x_(3)^2+2lambda x_(1)x_(2)-2x_(1)x_(3)+4x_(2)x_(3)为正定二次型，则λ的取值范围是（）.A. -2B. 1C. -3D. lambda>2

本题考查二次型正定的判定，解题思路是先写出二次型的矩阵，再根据正定矩阵的各阶顺序主子式都大于零这一性质列出不等式组，最后求解不等式组得到$\lambda$的取值范围。

步骤一：写出二次型的矩阵$A$

对于二次型$f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}+4x_{3}^{2}+2\lambda x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3}$，其矩阵$A$为：
\(A = \begin{pmatrix} 1 & \lambda & -1 \\ \lambda & 4 & 2 \\ -1 & 2 & 4 \end{pmatrix}\)

步骤二：计算矩阵$A$的各阶顺序主子式

• 一阶顺序主子式$\Delta_1$：
  $\Delta_1 = 1\gt 0$
• 二阶顺序主子式$\Delta_2$：
  \(\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & \lambda \\ \lambda & 4 \end{vmatrix}= 1\times 4 - \lambda\times\lambda = 4 - \lambda^2\)
  因为二次型正定，所以$\Delta_2\gt 0$，即$4 - \lambda^2\gt 0$，解这个不等式：
  $(2 - \lambda)(2 + \lambda)\gt 0$
  得到$-2\lt \lambda\lt 2$。
• 三阶顺序主子式$\Delta_3$：
  \(\Delta_3 = \begin{vmatrix} 1 & \lambda & -1 \\ \lambda & 4 & 2 \\ -1 & 2 & 4 \end{vmatrix}\)
  根据三阶行列式的计算公式\(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}= a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}- a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+ a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\)，可得：
  $\begin{align*}\Delta_3&= 1\times\begin{vmatrix}4 & 2 \\2 & 4\end{vmatrix}- \lambda\times\begin{vmatrix}\lambda & 2 \\-1 & 4\end{vmatrix}+ (-1)\times\begin{vmatrix}\lambda & 4 \\-1 & 2\end{vmatrix}\\&= 1\times(4\times 4 - 2\times 2) - \lambda\times(\lambda\times 4 - 2\times (-1)) - 1\times(\lambda\times 2 - 4\times (-1))\\&= 12 - \lambda(4\lambda + 2) - (2\lambda + 4)\\&= 12 - 4\lambda^2 - 2\lambda - 2\lambda - 4\\&= -4\lambda^2 - 4\lambda + 8\end{align*}$
  因为二次型正定，所以$\Delta_3\gt 0$，即$-4\lambda^2 - 4\lambda + 8\gt 0$，两边同时除以$-4$，不等号变向，得到$\lambda^2 + \lambda - 2\lt 0$，因式分解为$(\lambda + 2)(\lambda - 1)\lt 0$，解这个不等式得到$-2\lt \lambda\lt 1$。

步骤三：确定$\lambda$的取值范围

综合以上三个顺序主子式的结果，取它们的交集，可得$\lambda$的取值范围是$-2\lt \lambda\lt 1$。