15.求极限lim_(xto0)(xsin x+2cos x-2)/(x^2)-x^(2cos x).

考查要点：本题主要考查利用泰勒展开法求解极限，特别是处理0/0型不定式的能力。需要掌握常见函数（如$\sin x$、$\cos x$）的泰勒展开式，并能正确截断展开式至适当阶数。

解题核心思路：

1. 泰勒展开：将分子和分母中的函数展开为泰勒多项式，保留到足够高的阶数，确保展开后能约去低阶项，得到非零的最高次项。
2. 比较系数：分子和分母的最高次项系数之比即为极限值。

破题关键点：

• 展开阶数：分子和分母均需展开到$x^4$项，因为低阶项在相加后会被抵消。
• 忽略高阶小项：用$o(x^4)$表示更高阶的无穷小，简化计算。

分子展开：

1. 展开$x \sin x$：
   $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)$，
   因此 $x \sin x = x \left(x - \frac{x^3}{6}\right) + o(x^4) = x^2 - \frac{x^4}{6} + o(x^4)$。

2. 展开$2\cos x - 2$：
   $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$，
   因此 $2\cos x - 2 = 2\left(-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\right) + o(x^4) = -x^2 + \frac{x^4}{12} + o(x^4)$。

3. 合并分子：
   $x \sin x + 2\cos x - 2 = \left(x^2 - \frac{x^4}{6}\right) + \left(-x^2 + \frac{x^4}{12}\right) + o(x^4) = -\frac{x^4}{12} + o(x^4)$。

分母展开：

1. 提取$x^2$：
   $x^2 - x^2 \cos x = x^2 \left(1 - \cos x\right)$。

2. 展开$1 - \cos x$：
   $1 - \cos x = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + o(x^4)$，
   因此分母为 $x^2 \left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24}\right) + o(x^4) = \frac{x^4}{2} + o(x^4)$。

取极限：
分子和分母的最高次项均为$x^4$，系数分别为$-\frac{1}{12}$和$\frac{1}{2}$，故极限值为：
$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^4}{12} + o(x^4)}{\frac{x^4}{2} + o(x^4)} = \frac{-\frac{1}{12}}{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{6}.$