设 z = f(e^x sin y, x^2 + y^2)，则 (partial z)/(partial x) = ______A. e^x sin y f_1'B. e^x sin y f_1' + (2x + 2y)f_2'C. e^x sin y f_1' + 2x f_2'D. e^x cos y f_1' + 2x f_2'

步骤 1：确定函数形式
给定函数 $z = f(e^x \sin y, x^2 + y^2)$，其中 $f$ 是一个二元函数，$u = e^x \sin y$ 和 $v = x^2 + y^2$ 是 $z$ 的两个变量。
步骤 2：应用链式法则
根据链式法则，$z$ 关于 $x$ 的偏导数为： \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} \]
步骤 3：计算偏导数
计算 $u$ 关于 $x$ 的偏导数： \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (e^x \sin y) = e^x \sin y \] 计算 $v$ 关于 $x$ 的偏导数： \[ \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + y^2) = 2x \]
步骤 4：代入并简化
将上述偏导数代入链式法则公式： \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} e^x \sin y + \frac{\partial f}{\partial v} 2x \] 通常，我们将 $\frac{\partial f}{\partial u}$ 写作 $f_1$，将 $\frac{\partial f}{\partial v}$ 写作 $f_2$，因此： \[ \frac{\partial z}{\partial x} = e^x \sin y f_1 + 2x f_2 \]