注 类似地， 1.已知函数f(x)=(int_(0)^x|sin t|dt)/(x^a)在(0，+∞)上有界，则α的取值范围应为A. (0，+∞)B. (0，3]C. [1，2]D. (1，3] (C)

考查要点：本题主要考查函数在无穷区间上的有界性，涉及积分与极限的结合应用。关键在于分析函数在$x \to 0^+$和$x \to +\infty$时的行为，确定$\alpha$的限制条件。

解题思路：

1. 局部分析：分别考虑$x$趋近于$0^+$和$+\infty$时，分子积分的近似表达式，结合分母$x^\alpha$的衰减速度，判断$f(x)$是否有界。
2. 关键方法：
   • 等价无穷小替换：当$x \to 0^+$时，用$|\sin t| \sim t$简化积分。
   • 周期函数积分近似：当$x \to +\infty$时，利用$|\sin t|$的周期性求积分渐进行为。
3. 综合条件：将两个极限情况下的$\alpha$范围取交集，得到最终答案。

当$x \to 0^+$时

1. 积分近似：
   当$t \to 0$时，$|\sin t| \sim t$，因此积分可近似为：
   $\int_0^x |\sin t| \, dt \sim \int_0^x t \, dt = \frac{x^2}{2}.$
2. 函数表达式：
   代入$f(x)$得：
   $f(x) \sim \frac{\frac{x^2}{2}}{x^\alpha} = \frac{x^{2-\alpha}}{2}.$
3. 有界性条件：
   当$x \to 0^+$时，若$f(x)$有界，需$x^{2-\alpha}$不趋于无穷大，即指数$2 - \alpha \geq 0$，得：
   $\alpha \leq 2.$

当$x \to +\infty$时

1. 积分近似：
   $|\sin t|$的周期为$\pi$，每个周期内的积分为$\int_0^\pi |\sin t| \, dt = 2$。因此，当$x$很大时：
   $\int_0^x |\sin t| \, dt \approx \frac{2}{\pi} x.$
2. 函数表达式：
   代入$f(x)$得：
   $f(x) \approx \frac{\frac{2}{\pi} x}{x^\alpha} = \frac{2}{\pi} x^{1-\alpha}.$
3. 有界性条件：
   当$x \to +\infty$时，若$f(x)$有界，需$x^{1-\alpha}$不趋于无穷大，即指数$1 - \alpha \leq 0$，得：
   $\alpha \geq 1.$

综合条件

结合$x \to 0^+$和$x \to +\infty$的条件，$\alpha$需满足：
$1 \leq \alpha \leq 2,$
即$\alpha$的取值范围为$[1, 2]$，对应选项$\boxed{C}$。