题目
6.设|z|=1，试证|(az+b)/(bz+overline(a))|=1.
6.设|z|=1，试证$\left|\frac{az+b}{bz+\overline{a}}\right|=1$.
题目解答
答案
由题意，设 $ |z| = 1 $，则 $ z \overline{z} = 1 $。考虑复数模的性质，有
\[
\left| \frac{az + b}{bz + \overline{a}} \right|^2 = \frac{|az + b|^2}{|bz + \overline{a}|^2}.
\]
计算分子和分母：
\[
|az + b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2\operatorname{Re}(az \overline{b}),
\]
\[
|bz + \overline{a}|^2 = |b|^2 + |a|^2 + 2\operatorname{Re}(bz a).
\]
利用 $ z \overline{z} = 1 $，得
\[
az \overline{b} + \overline{a} \overline{z} b = bz a + \overline{a} \overline{b} \overline{z},
\]
即分子等于分母。因此，
\[
\left| \frac{az + b}{bz + \overline{a}} \right| = 1.
\]
**答案：** $\boxed{1}$
解析
考查要点：本题主要考查复数模的性质及代数运算，特别是利用复数共轭和模的平方展开进行等式证明。
解题核心思路：
- 利用模的平方性质：将复数的模转化为分子和分母的模平方之比，通过计算分子和分母的模平方来证明其相等。
- 复数共轭与模的关系：结合已知条件$|z|=1$（即$z\overline{z}=1$），对分子和分母的展开式进行变形，利用共轭复数的性质简化表达式。
- 实部相等的证明：通过分析分子和分母展开后的实部项，结合复数乘法的交换律和模的条件，证明两者的实部相等，从而整体模平方相等。
步骤1：计算模的平方
根据复数模的性质，有：
$\left| \frac{az + b}{bz + \overline{a}} \right|^2 = \frac{|az + b|^2}{|bz + \overline{a}|^2}.$
步骤2：展开分子和分母的模平方
- 分子：
$|az + b|^2 = |az|^2 + |b|^2 + 2\operatorname{Re}(az \cdot \overline{b}) = |a|^2 + |b|^2 + 2\operatorname{Re}(a z \overline{b}).$ - 分母：
$|bz + \overline{a}|^2 = |bz|^2 + |\overline{a}|^2 + 2\operatorname{Re}(bz \cdot a) = |b|^2 + |a|^2 + 2\operatorname{Re}(b z a).$
步骤3：比较分子和分母的实部项
需证明$\operatorname{Re}(a z \overline{b}) = \operatorname{Re}(b z a)$。
利用$|z|=1$（即$z\overline{z}=1$），将分母的实部项变形：
$\operatorname{Re}(b z a) = \operatorname{Re}(a b z) = \operatorname{Re}(a z \overline{b} \cdot \overline{z} z) = \operatorname{Re}(a z \overline{b}),$
其中$\overline{z} z = 1$，故两实部项相等。
步骤4：结论
分子和分母的模平方相等，因此：
$\left| \frac{az + b}{bz + \overline{a}} \right| = 1.$