计算下列对坐标的曲线积分:-|||-(1) int ((x)^2-(y)^2)dx ,其中L是抛物线 =(x)^2 上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧;

考查要点：本题主要考查对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）的计算方法，重点在于将曲线积分转化为定积分的能力。

解题核心思路：

1. 参数化曲线：将曲线L用参数表示，这里直接利用抛物线方程$y = x^2$，以$x$为参数。
2. 代入积分表达式：将$y$替换为$x^2$，将积分变量统一为$dx$。
3. 转化为定积分：根据参数范围$x$从$0$到$2$，直接计算定积分。

破题关键点：

• 正确选择参数：利用抛物线方程直接消去$y$，简化积分表达式。
• 积分上下限的确定：根据曲线起点$(0,0)$和终点$(2,4)$，确定$x$的范围为$[0, 2]$。

第（1）题

参数化曲线

曲线$L$为抛物线$y = x^2$，直接以$x$为参数，参数范围为$0 \leq x \leq 2$。

代入积分表达式

将$y = x^2$代入被积函数，得到：
$x^2 - y^2 = x^2 - (x^2)^2 = x^2 - x^4$

转化为定积分

积分变量为$dx$，积分上下限为$x=0$到$x=2$，因此原积分转化为：
$\int_{L} (x^2 - y^2)dx = \int_{0}^{2} (x^2 - x^4)dx$

计算定积分

分别对$x^2$和$x^4$积分：
$\begin{aligned}\int_{0}^{2} x^2 dx &= \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{2} = \frac{8}{3}, \\\int_{0}^{2} x^4 dx &= \left[ \frac{1}{5}x^5 \right]_{0}^{2} = \frac{32}{5}.\end{aligned}$
因此：
$\int_{0}^{2} (x^2 - x^4)dx = \frac{8}{3} - \frac{32}{5} = \frac{40}{15} - \frac{96}{15} = -\frac{56}{15}$