设 f(x) 在 [0,1] 上连续 , 且 0⩽f(x)⩽1, 证明：至少存在一点 ξ∈[0,1], 使得 f(ξ)=ξ.

考查要点：本题主要考查连续函数的零点定理的应用，以及通过构造辅助函数解决存在性问题的能力。

解题核心思路：

1. 分类讨论：首先检查端点$x=0$和$x=1$是否直接满足$f(x)=x$。
2. 构造辅助函数：若端点不满足条件，则定义$g(x)=f(x)-x$，利用其连续性和端点处的符号变化，结合零点定理证明存在零点。

破题关键点：

• 零点定理：若连续函数在区间端点处符号相反，则必存在零点。
• 辅助函数的选择：通过$f(x)-x$将问题转化为寻找$g(x)=0$的点。

情况1：$f(0)=0$

若$f(0)=0$，直接取$\xi=0$，此时$f(\xi)=\xi$成立。

情况2：$f(1)=1$

若$f(1)=1$，直接取$\xi=1$，此时$f(\xi)=\xi$成立。

情况3：$f(0)\neq0$且$f(1)\neq1$

1. 分析端点值：

   • 由$0 \leq f(0) \leq 1$且$f(0)\neq0$，得$f(0)>0$。
   • 由$0 \leq f(1) \leq 1$且$f(1)\neq1$，得$f(1)<1$。

2. 构造辅助函数：
   定义$g(x)=f(x)-x$，则$g(x)$在$[0,1]$上连续（因$f(x)$连续，$x$连续，连续函数的差连续）。

3. 计算端点值：

   • $g(0)=f(0)-0=f(0)>0$，
   • $g(1)=f(1)-1<0$（因$f(1)<1$）。

4. 应用零点定理：
   由于$g(x)$在$[0,1]$上连续，且$g(0)>0$，$g(1)<0$，根据零点定理，存在$\xi \in (0,1)$，使得$g(\xi)=0$，即$f(\xi)=\xi$。