题目

设A为三阶矩阵，|A|=-2，将矩阵A按列分块为A=(A_(1),A_(2),A_(3))，A_(j)(j=1,2,3)，其中A_(j)(j=1,2,3)是A的第j列，B=(A_(3)-2A_(1),3A_(2),A_(1))，则|B|=____.

设A为三阶矩阵，$|A|=-2$，将矩阵A按列分块为$A=(A_{1},A_{2},A_{3})$，$A_{j}(j=1,2,3)$，其中$A_{j}(j=1,2,3)$是A的第j列，$B=(A_{3}-2A_{1},3A_{2},A_{1})$，则$|B|=$____.

题目解答

答案

将矩阵 $ B $ 按列分块，得 $ B = (A_3 - 2A_1, 3A_2, A_1) $。利用行列式性质： 1. 拆分第一列：$ |B| = |A_3, 3A_2, A_1| - |2A_1, 3A_2, A_1| $。 2. 由于 $ |2A_1, 3A_2, A_1| = 0 $（两列成比例），故 $ |B| = |A_3, 3A_2, A_1| $。 3. 交换第一、三列：$ |A_3, 3A_2, A_1| = -|A_1, 3A_2, A_3| $。 4. 提取第二列公因子3：$ |A_1, 3A_2, A_3| = 3|A_1, A_2, A_3| = 3 \times (-2) = -6 $。 5. 因此，$ |B| = -(-6) = 6 $。 答案：$\boxed{6}$

解析

考查要点：本题主要考查行列式的性质，特别是列的线性组合、列交换对符号的影响、以及行列式中公因子的提取。

解题核心思路：

  1. 拆分第一列：利用行列式的线性性质，将第一列的线性组合拆分为两个行列式的差。
  2. 排除零行列式：若某行列式中存在两列成比例，则该行列式为零。
  3. 列交换与符号变化：交换两列会改变行列式的符号。
  4. 提取公因子：行列式中某列的公因子可以提取到行列式外。

破题关键点：

  • 拆分第一列后，发现第二个行列式因列成比例而为零。
  • 交换列的位置简化行列式结构。
  • 提取公因子并结合原矩阵行列式的值计算最终结果。

将矩阵 $B$ 按列分块，得 $B = (A_3 - 2A_1, 3A_2, A_1)$。利用行列式的性质逐步化简：

拆分第一列

根据行列式的线性性质，拆分第一列：
$|B| = \begin{vmatrix} A_3 - 2A_1 & 3A_2 & A_1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A_3 & 3A_2 & A_1 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 2A_1 & 3A_2 & A_1 \end{vmatrix}.$

排除零行列式

第二个行列式 $\begin{vmatrix} 2A_1 & 3A_2 & A_1 \end{vmatrix}$ 中，第一列 $2A_1$ 与第三列 $A_1$ 成比例，因此该行列式为 $0$，故：
$|B| = \begin{vmatrix} A_3 & 3A_2 & A_1 \end{vmatrix}.$

交换列的位置

交换第一列与第三列，行列式符号改变：
$\begin{vmatrix} A_3 & 3A_2 & A_1 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} A_1 & 3A_2 & A_3 \end{vmatrix}.$

提取公因子

提取第二列的公因子 $3$：
$\begin{vmatrix} A_1 & 3A_2 & A_3 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} A_1 & A_2 & A_3 \end{vmatrix} = 3|A| = 3 \times (-2) = -6.$

最终结果

代入化简结果：
$|B| = -(-6) = 6.$