题目

11.设int_(1)^+infty(a)/(x(2x+a))dx=ln2，则a=____.

11.设$\int_{1}^{+\infty}\frac{a}{x(2x+a)}dx=\ln2$，则a=____.

题目解答

答案

为了解决给定的积分$\int_{1}^{+\infty}\frac{a}{x(2x+a)}dx=\ln2$，我们首先使用部分分式分解来分解被积函数。我们表示$\frac{a}{x(2x+a)}$为： \[ \frac{a}{x(2x+a)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{2x+a} \] 通过乘以分母$x(2x+a)$得到： \[ a = A(2x+a) + Bx \] 展开并合并同类项，我们得到： \[ a = (2A+B)x + Aa \] 为了使等式对所有$x$成立，$x$的系数和常数项在两边必须相等。因此，我们有方程组： \[ 2A + B = 0 \quad \text{和} \quad Aa = a \] 从第二个方程，由于$a \neq 0$，我们可以两边除以$a$得到： \[ A = 1 \] 将$A = 1$代入第一个方程，我们得到： \[ 2(1) + B = 0 \implies B = -2 \] 因此，部分分式分解是： \[ \frac{a}{x(2x+a)} = \frac{1}{x} - \frac{2}{2x+a} \] 现在，我们可以重写积分： \[ \int_{1}^{+\infty}\frac{a}{x(2x+a)}dx = \int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{x} - \frac{2}{2x+a}\right)dx \] 我们可以将这个积分分为两个积分： \[ \int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x}dx - \int_{1}^{+\infty}\frac{2}{2x+a}dx \] 第一个积分是： \[ \int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x}dx = \lim_{b \to +\infty} \left[\ln|x|\right]_{1}^{b} = \lim_{b \to +\infty} (\ln b - \ln 1) = \lim_{b \to +\infty} \ln b \] 第二个积分是： \[ \int_{1}^{+\infty}\frac{2}{2x+a}dx = \lim_{b \to +\infty} \left[\ln|2x+a|\right]_{1}^{b} = \lim_{b \to +\infty} (\ln|2b+a| - \ln|2+a|) = \lim_{b \to +\infty} \ln\left|\frac{2b+a}{2+a}\right| \] 由于$\ln b$和$\ln(2b+a)$都随着$b \to +\infty$而趋于无穷大，我们需要考虑它们的差： \[ \lim_{b \to +\infty} \left(\ln b - \ln\left|\frac{2b+a}{2+a}\right|\right) = \lim_{b \to +\infty} \ln\left|\frac{b(2+a)}{2b+a}\right| = \ln\left|\frac{2+a}{2}\right| \] 已知这个积分等于$\ln 2$，所以我们有： \[ \ln\left|\frac{2+a}{2}\right| = \ln 2 \] 由于自然对数函数是一对一的，我们可以使参数相等： \[ \frac{2+a}{2} = 2 \] 解$a$： \[ 2 + a = 4 \implies a = 2 \] 因此，$a$的值是： \[ \boxed{2} \]

解析

考查要点：本题主要考查有理分式的积分，特别是利用部分分式分解处理广义积分的能力，以及通过积分结果反求参数的技巧。

解题核心思路：

  1. 部分分式分解：将被积函数拆分为简单分式的和，简化积分过程。
  2. 积分计算：分别对拆分后的分式进行积分，注意处理无穷限积分的收敛性。
  3. 极限化简：通过代数变形，将积分结果转化为对数形式的差，消去无穷项。
  4. 方程求解：根据积分结果等于$\ln2$，建立方程求解参数$a$。

破题关键点：

  • 正确分解部分分式，确定系数$A$和$B$。
  • 准确计算积分并处理极限，注意无穷项的抵消关系。
  • 对数方程的转化，利用$\ln$函数的单调性解方程。

步骤1：部分分式分解
将被积函数$\frac{a}{x(2x+a)}$分解为：
$\frac{a}{x(2x+a)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{2x+a}$
两边同乘$x(2x+a)$得：
$a = A(2x+a) + Bx$
整理得：
$a = (2A + B)x + Aa$
比较系数得方程组：
$\begin{cases}2A + B = 0 \\Aa = a\end{cases}$
解得：
$A = 1, \quad B = -2$
因此，分解结果为：
$\frac{a}{x(2x+a)} = \frac{1}{x} - \frac{2}{2x+a}$

步骤2：积分拆分与计算
原积分变为：
$\int_{1}^{+\infty} \left( \frac{1}{x} - \frac{2}{2x+a} \right) dx$
拆分为两个积分：
$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} dx - \int_{1}^{+\infty} \frac{2}{2x+a} dx$

计算第一个积分：
$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} dx = \lim_{b \to +\infty} \left[ \ln x \right]_1^b = \lim_{b \to +\infty} (\ln b - 0) = +\infty$

计算第二个积分：
令$u = 2x + a$，则$du = 2dx$，积分变为：
$\int_{1}^{+\infty} \frac{2}{2x+a} dx = \lim_{b \to +\infty} \left[ \ln |2x+a| \right]_1^b = \lim_{b \to +\infty} (\ln(2b+a) - \ln(2+a)) = +\infty$

步骤3：处理极限差
两积分均为发散项，但其差收敛：
$\begin{aligned}\text{原积分} &= \lim_{b \to +\infty} \left[ \ln b - \ln(2b+a) + \ln(2+a) \right] \\&= \lim_{b \to +\infty} \ln \left( \frac{b(2+a)}{2b+a} \right) \\&= \ln \left( \frac{2+a}{2} \right)\end{aligned}$

步骤4：建立方程求解$a$
根据题意，积分结果为$\ln2$，故：
$\ln \left( \frac{2+a}{2} \right) = \ln2 \implies \frac{2+a}{2} = 2 \implies a = 2$