27.设随机变量X，Y相互独立，它们都在区间（0，1）上服从均匀分布，A是以X，Y为边长的矩形的面积，求A的概率密度。

考查要点：本题主要考查两个独立均匀分布随机变量乘积的分布求解，涉及概率密度函数的卷积运算及变量积分区间的确定。

解题核心思路：

1. 独立变量乘积的密度公式：利用独立随机变量乘积的密度函数公式，通过积分求解。
2. 积分区间分析：根据变量的取值范围（0 < X, Y < 1），确定积分上下限，确保被积函数非零。
3. 积分计算：正确计算积分表达式，得到最终的密度函数形式。

破题关键点：

• 变量约束条件：X和Y均在（0,1）内，因此乘积A = XY的取值范围为（0,1）。
• 积分区间推导：当A = z时，X需满足z < X < 1，从而确定积分上下限。

设随机变量X和Y独立且均服从区间（0,1）上的均匀分布，其概率密度函数分别为：
$f_X(x) = \begin{cases} 1, & 0 < x < 1, \\0, & \text{其他},\end{cases} \quad f_Y(y) = \begin{cases} 1, & 0 < y < 1, \\0, & \text{其他}.\end{cases}$

目标：求A = XY的概率密度函数$f_A(a)$。

步骤1：应用乘积分布公式

根据独立随机变量乘积的密度公式：
$f_A(a) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{|x|} f_X(x) f_Y\left(\frac{a}{x}\right) dx.$

步骤2：确定积分区间

由于X和Y均在（0,1）内，需满足：

1. $0 < x < 1$；
2. $0 < \frac{a}{x} < 1$，即$x > a$。

因此，积分区间为$x \in (a, 1)$。

步骤3：代入并计算积分

当$0 < a < 1$时：
$f_A(a) = \int_{a}^{1} \frac{1}{x} \cdot 1 \cdot 1 \, dx = \int_{a}^{1} \frac{1}{x} dx = \ln x \Big|_{a}^{1} = -\ln a.$

当$a \leq 0$或$a \geq 1$时，积分区间为空，故$f_A(a) = 0$。