题目

1.6] 求极限= lim _(x arrow infty )( (1)/(x)+2^ (1)/(x))^x

1.6] 求极限$= \lim _{x \rightarrow \infty }( \frac {1}{x}+2^{ \frac {1}{x}})^{x}$

题目解答

答案

令 $ y = \frac{1}{x} $，当 $ x \to \infty $ 时，$ y \to 0 $。原式变为 \[ \lim_{y \to 0} \left( y + 2^y \right)^{\frac{1}{y}}. \] 取对数得 \[ \ln L = \lim_{y \to 0} \frac{\ln(y + 2^y)}{y}. \] 由洛必达法则， \[ \ln L = \lim_{y \to 0} \frac{\frac{1 + 2^y \ln 2}{y + 2^y}}{1} = \lim_{y \to 0} \frac{1 + 2^y \ln 2}{y + 2^y} = 1 + \ln 2. \] 因此， \[ L = e^{1 + \ln 2} = 2e. \] **答案：** $\boxed{2e}$

解析

考查要点：本题主要考查变量替换法和洛必达法则在求解复杂极限中的应用，同时需要掌握指数函数与对数函数的转换技巧。

解题核心思路：

  1. 变量替换：将原式中的$x$替换为$y = \frac{1}{x}$，将极限转化为关于$y \to 0$的形式，简化表达式。
  2. 取对数处理：对指数形式取自然对数，将问题转化为求对数后的极限，便于应用洛必达法则。
  3. 洛必达法则：处理$\frac{0}{0}$型不定式，通过求导简化极限计算。
  4. 化简结果：通过指数运算将对数结果还原为最终答案。

破题关键点：

  • 变量替换的选择是关键，需根据极限形式灵活调整。
  • 正确应用洛必达法则，注意分子分母的导数计算。
  • 指数与对数的转换关系是连接中间步骤与最终答案的桥梁。

步骤1：变量替换
令$y = \frac{1}{x}$，当$x \to \infty$时，$y \to 0$。原式变为：
$\lim_{y \to 0} \left( y + 2^y \right)^{\frac{1}{y}}$

步骤2：取对数处理
设$L = \lim_{y \to 0} \left( y + 2^y \right)^{\frac{1}{y}}$，则：
$\ln L = \lim_{y \to 0} \frac{\ln(y + 2^y)}{y}$

步骤3：应用洛必达法则
当$y \to 0$时，分子$\ln(y + 2^y) \to \ln(0 + 1) = 0$，分母$y \to 0$，属于$\frac{0}{0}$型不定式。对分子分母分别求导：
$\ln L = \lim_{y \to 0} \frac{\frac{d}{dy}[\ln(y + 2^y)]}{\frac{d}{dy}[y]} = \lim_{y \to 0} \frac{\frac{1 + 2^y \ln 2}{y + 2^y}}{1}$

步骤4：计算极限
代入$y = 0$：
$\ln L = \frac{1 + 1 \cdot \ln 2}{0 + 1} = 1 + \ln 2$

步骤5：还原结果
$L = e^{1 + \ln 2} = e \cdot e^{\ln 2} = 2e$