lim _(narrow infty )(dfrac (1)({n)^2+1}+dfrac (2)({n)^2+2}+... +dfrac (n)({n)^2+n})= n/+n)=- __

步骤 1：确定数列的上下界
考虑数列 ${a}_{n}=\dfrac {1}{{n}^{2}+1}+\dfrac {2}{{n}^{2}+2}+\cdots +\dfrac {n}{{n}^{2}+n}$，我们首先确定它的上下界。由于每个分母都大于等于${n}^{2}$，每个分子都小于等于$n$，因此每个项都小于等于$\dfrac {n}{{n}^{2}}=\dfrac {1}{n}$。所以，整个数列的和小于等于$\dfrac {1}{n}+\dfrac {1}{n}+\cdots +\dfrac {1}{n}=1$。另一方面，每个项都大于等于$\dfrac {1}{{n}^{2}+n}$，所以整个数列的和大于等于$\dfrac {1}{{n}^{2}+n}+\dfrac {1}{{n}^{2}+n}+\cdots +\dfrac {1}{{n}^{2}+n}=\dfrac {n}{{n}^{2}+n}$。

步骤 2：计算上下界的极限
计算上界$\lim _{n\rightarrow \infty }1=1$，计算下界$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n}{{n}^{2}+n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{n+1}=0$。但是，我们注意到，上界和下界并不直接给出数列的极限，我们需要更精确的估计。

步骤 3：使用夹逼定理
我们注意到，数列${a}_{n}$的每一项都可以写成$\dfrac {k}{{n}^{2}+k}$的形式，其中$k$从$1$到$n$。我们可以将每一项写成$\dfrac {k}{{n}^{2}+k}=\dfrac {k}{{n}^{2}}\cdot \dfrac {1}{1+\dfrac {k}{{n}^{2}}}$。当$n$趋向于无穷大时，$\dfrac {k}{{n}^{2}}$趋向于$0$，所以每一项趋向于$\dfrac {k}{{n}^{2}}$。因此，整个数列的和趋向于$\dfrac {1}{{n}^{2}}+\dfrac {2}{{n}^{2}}+\cdots +\dfrac {n}{{n}^{2}}=\dfrac {n(n+1)}{2{n}^{2}}$。计算这个极限，我们得到$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n(n+1)}{2{n}^{2}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1+\dfrac {1}{n}}{2}=\dfrac {1}{2}$。