题目
[题目]-|||-幂级数 sum _(n=1)^infty dfrac (1)(ncdot {2)^n}(x)^n 的收敛域为 () .-|||-A. (-2,2) B. [ -2,2) C. (-2,2] D. [ -2,2]
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定收敛半径
根据幂级数收敛半径的公式，我们有
$$
R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{1}{n \cdot 2^n}}{\frac{1}{(n+1) \cdot 2^{n+1}}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1) \cdot 2^{n+1}}{n \cdot 2^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{2(n+1)}{n} \right| = 2.
$$
步骤 2：确定收敛区间
收敛半径为2，因此收敛区间为$(-2, 2)$。接下来，我们需要检查端点$x = -2$和$x = 2$的情况。
步骤 3：检查端点$x = -2$
当$x = -2$时，级数变为$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n\cdot {2}^{n}}{(-2)}^{n} = \sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {(-1)^n}{n}$，这是一个交错级数，根据莱布尼茨判别法，该级数收敛。
步骤 4：检查端点$x = 2$
当$x = 2$时，级数变为$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n\cdot {2}^{n}}{2}^{n} = \sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$，这是一个调和级数，它是发散的。
根据幂级数收敛半径的公式，我们有
$$
R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{1}{n \cdot 2^n}}{\frac{1}{(n+1) \cdot 2^{n+1}}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1) \cdot 2^{n+1}}{n \cdot 2^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{2(n+1)}{n} \right| = 2.
$$
步骤 2：确定收敛区间
收敛半径为2，因此收敛区间为$(-2, 2)$。接下来，我们需要检查端点$x = -2$和$x = 2$的情况。
步骤 3：检查端点$x = -2$
当$x = -2$时，级数变为$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n\cdot {2}^{n}}{(-2)}^{n} = \sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {(-1)^n}{n}$，这是一个交错级数，根据莱布尼茨判别法，该级数收敛。
步骤 4：检查端点$x = 2$
当$x = 2$时，级数变为$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n\cdot {2}^{n}}{2}^{n} = \sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$，这是一个调和级数，它是发散的。