下面曲线积分中与路径无关的是(). A. int_(L) sin xy , dx + sin xy , dyB. int_(L) (y^3 + 2x^2 y), dx + (x^3 + 2xy^2), dyC. int_(L) cos xy , dx + cos xy , dyD. int_(L) (x^3 + 2xy^2), dx + (y^3 + 2x^2 y), dy

要确定哪个曲线积分与路径无关，我们需要检查向量场是否保守。一个向量场 $\mathbf{F} = P(x, y) \mathbf{i} + Q(x, y) \mathbf{j}$ 是保守的，如果它的旋度为零，即 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$。 让我们分析每个选项： **选项 A: $\int_{L} \sin xy \, dx + \sin xy \, dy$** 这里，$P(x, y) = \sin xy$ 和 $Q(x, y) = \sin xy$。我们计算偏导数： \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (\sin xy) = y \cos xy \] \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\sin xy) = x \cos xy \] 由于 $\frac{\partial Q}{\partial x} \neq \frac{\partial P}{\partial y}$，向量场不是保守的，积分与路径有关。 **选项 B: $\int_{L} (y^3 + 2x^2 y) \, dx + (x^3 + 2xy^2) \, dy$** 这里，$P(x, y) = y^3 + 2x^2 y$ 和 $Q(x, y) = x^3 + 2xy^2$。我们计算偏导数： \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^3 + 2xy^2) = 3x^2 + 2y^2 \] \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (y^3 + 2x^2 y) = 3y^2 + 2x^2 \] 由于 $\frac{\partial Q}{\partial x} \neq \frac{\partial P}{\partial y}$，向量场不是保守的，积分与路径有关。 **选项 C: $\int_{L} \cos xy \, dx + \cos xy \, dy$** 这里，$P(x, y) = \cos xy$ 和 $Q(x, y) = \cos xy$。我们计算偏导数： \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (\cos xy) = -y \sin xy \] \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\cos xy) = -x \sin xy \] 由于 $\frac{\partial Q}{\partial x} \neq \frac{\partial P}{\partial y}$，向量场不是保守的，积分与路径有关。 **选项 D: $\int_{L} (x^3 + 2xy^2) \, dx + (y^3 + 2x^2 y) \, dy$** 这里，$P(x, y) = x^3 + 2xy^2$ 和 $Q(x, y) = y^3 + 2x^2 y$。我们计算偏导数： \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (y^3 + 2x^2 y) = 4xy \] \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^3 + 2xy^2) = 4xy \] 由于 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$，向量场是保守的，积分与路径无关。 因此，正确答案是 $\boxed{D}$。