求微分方程 ''-4y'+4y=0 的通解.

考查要点：本题主要考查二阶常系数齐次线性微分方程的解法，核心思路是通过特征方程法求解微分方程的通解。

解题核心思路：

1. 建立特征方程：将微分方程中的导数项替换为对应的特征变量幂次，得到一个二次方程。
2. 求解特征根：通过解二次方程得到根的情况（实根、复根、重根）。
3. 构造通解：根据根的不同情况，组合对应的解形式。本题中特征方程有重根，因此通解形式为 $e^{\lambda x}(C_1 + C_2 x)$。

破题关键点：正确写出特征方程并判断根的性质，是解题的核心步骤。

步骤1：写出特征方程
将微分方程 $y'' - 4y' + 4y = 0$ 中的 $y''$、$y'$、$y$ 分别替换为 $r^2$、$r$、$1$，得到特征方程：
$r^2 - 4r + 4 = 0$

步骤2：求解特征根
解方程 $r^2 - 4r + 4 = 0$：

• 判别式 $\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$，说明方程有两个相等的实根。
• 根为 $r_1 = r_2 = \frac{4}{2} = 2$。

步骤3：构造通解
当特征方程有重根 $r_1 = r_2 = \lambda$ 时，通解形式为：
$y = e^{\lambda x}(C_1 + C_2 x)$
代入 $\lambda = 2$，得通解：
$y = e^{2x}(C_1 + C_2 x)$