题目
二、填空题（共10题，50.0分）17.（填空题，5.0分）设矩阵A=}0&1&01&0&1|=____.
二、填空题（共10题，50.0分）
17.（填空题，5.0分）
设矩阵$A=\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&1\end{bmatrix}$，则$|A^{T}A|-|AA^{T}|=$____.
题目解答
答案
设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} $，则其转置矩阵为 $ A^T = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $。
计算 $ A^T A $：
\[
A^T A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\]
计算 $ A A^T $：
\[
A A^T = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}
\]
求 $ |A^T A| $：
\[
|A^T A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - 0 + 1 \times \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \times 1 + 1 \times (-1) = 0
\]
求 $ |A A^T| $：
\[
|A A^T| = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 1 \times 2 = 2
\]
因此，$ |A^T A| - |A A^T| = 0 - 2 = -2 $。
答案：$-2$
解析
考查要点：本题主要考查矩阵的转置、乘法以及行列式的计算，同时涉及矩阵乘积的行列式性质。
解题核心思路：
- 矩阵乘积的行列式性质：对于矩阵$A$和$B$，一般情况下$|AB| = |A||B|$，但若$A$和$B$为非方阵，则需注意乘积的可行性。本题中，$A^T A$和$AA^T$均为方阵，但它们的行列式不一定相等。
- 具体计算步骤：先分别计算$A^T A$和$AA^T$的矩阵乘积，再求各自的行列式，最后作差。
破题关键点：
- 矩阵乘积的维度分析：$A$为$2 \times 3$矩阵，$A^T$为$3 \times 2$矩阵，因此$A^T A$为$3 \times 3$矩阵，$AA^T$为$2 \times 2$矩阵。
- 行列式的计算技巧：对于$A^T A$的行列式，可通过展开法或观察特殊结构（如对称性）简化计算；$AA^T$为对角矩阵，行列式直接为对角元素乘积。
步骤1：计算$A^T A$
- $A^T = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$。
- 矩阵乘积$A^T A$：
$A^T A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
步骤2：计算$|A^T A|$
- 展开行列式：
$|A^T A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - 0 + 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 0$
步骤3：计算$AA^T$
- 矩阵乘积$AA^T$：
$AA^T = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$
步骤4：计算$|AA^T|$
- 对角矩阵行列式：
$|AA^T| = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 = 2$
步骤5：求差值
- 最终结果：
$|A^T A| - |AA^T| = 0 - 2 = -2$