题目
质量为m的子弹以速度v0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为K，忽略子弹的重力，求：（1）子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；（2）子弹进入沙土的最大深度。
质量为m的子弹以速度v0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为K，忽略子弹的重力，求：（1）子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；（2）子弹进入沙土的最大深度。
题目解答
答案
（1）由题意，利用牛顿第二定律可得：-kv=ma=m$\frac{dv}{dt}$即：-$\frac{k}{m}dt=\frac{dv}{v}$，两边积分得：llnv=-$\frac{k}{m}$t+C已知t=0时，v=v0，代入求得C=lnv0，故lnv=-$\frac{k}{m}t+ln{v}_{0}$即得到速度随时间变化的函数式为：$v={v}_{0}{e}^{-\frac{k}{m}t}$（2）射入的最后深度为：d=${∫}_{0}^{∞}$vdt=${∫}_{0}^{∞}$v0${e}^{-\frac{k}{m}t}$dt=$\frac{m{v}_{0}}{k}$答：（1）子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式为：$v={v}_{0}{e}^{-\frac{k}{m}t}$（2）子弹进入沙土的最大深度为：d=$\frac{m{v}_{0}}{k}$
解析
步骤 1：建立运动方程
根据题意，子弹在沙土中受到的阻力与速度成正比，设阻力为F=-kv，其中k为比例系数。根据牛顿第二定律，F=ma，其中a是子弹的加速度。因此，我们有：
$$-kv = ma = m\frac{dv}{dt}$$
步骤 2：求解速度随时间变化的函数式
将上式改写为：
$$\frac{dv}{dt} = -\frac{k}{m}v$$
这是一个一阶线性微分方程。分离变量并积分，得到：
$$\int \frac{1}{v} dv = -\int \frac{k}{m} dt$$
$$\ln v = -\frac{k}{m}t + C$$
其中C是积分常数。利用初始条件t=0时，v=v0，可以求得C=lnv0。因此，速度随时间变化的函数式为：
$$v = v_0 e^{-\frac{k}{m}t}$$
步骤 3：求解子弹进入沙土的最大深度
子弹进入沙土的最大深度为子弹停止运动时所经过的距离。根据速度随时间变化的函数式，当t→∞时，v→0。因此，子弹进入沙土的最大深度为：
$$d = \int_0^\infty v dt = \int_0^\infty v_0 e^{-\frac{k}{m}t} dt$$
利用积分公式，可以求得：
$$d = \frac{m v_0}{k}$$
根据题意，子弹在沙土中受到的阻力与速度成正比，设阻力为F=-kv，其中k为比例系数。根据牛顿第二定律，F=ma，其中a是子弹的加速度。因此，我们有：
$$-kv = ma = m\frac{dv}{dt}$$
步骤 2：求解速度随时间变化的函数式
将上式改写为：
$$\frac{dv}{dt} = -\frac{k}{m}v$$
这是一个一阶线性微分方程。分离变量并积分，得到：
$$\int \frac{1}{v} dv = -\int \frac{k}{m} dt$$
$$\ln v = -\frac{k}{m}t + C$$
其中C是积分常数。利用初始条件t=0时，v=v0，可以求得C=lnv0。因此，速度随时间变化的函数式为：
$$v = v_0 e^{-\frac{k}{m}t}$$
步骤 3：求解子弹进入沙土的最大深度
子弹进入沙土的最大深度为子弹停止运动时所经过的距离。根据速度随时间变化的函数式，当t→∞时，v→0。因此，子弹进入沙土的最大深度为：
$$d = \int_0^\infty v dt = \int_0^\infty v_0 e^{-\frac{k}{m}t} dt$$
利用积分公式，可以求得：
$$d = \frac{m v_0}{k}$$