函数 f(x) = (|x| sin (x-2))/(x(x-1)(x-2)^2) 在下列哪个区间内有界 ( ).(A) (-1, 0)(B) (0, 1)(C) (1, 2)(D) (2, 3)

我们来分析函数
$f(x) = \frac{|x| \sin(x - 2)}{x(x - 1)(x - 2)^2}$
在给定的四个区间中是否有界。

第一步：理解函数结构

函数 $ f(x) $ 的结构为：

$f(x) = \frac{|x| \sin(x - 2)}{x(x - 1)(x - 2)^2}$

• 分子：$ |x| \sin(x - 2) $，是连续函数的乘积，整体在定义域内连续。
• 分母：$ x(x - 1)(x - 2)^2 $，在 $ x = 0, 1, 2 $ 处为 0，这些点是函数的无定义点（即间断点）。

第二步：分析函数的定义域

分母为 0 的点是：

• $ x = 0 $：分母为 0，分子为 $ |0| \cdot \sin(-2) = 0 $，是 0/0 型不定式，需要进一步分析。
• $ x = 1 $：分母为 0，分子为 $ |1| \cdot \sin(-1) \neq 0 $，是 非0/0 型不定式，函数在该点无定义，且极限可能趋于无穷。
• $ x = 2 $：分母为 0，分子为 $ |2| \cdot \sin(0) = 0 $，也是 0/0 型不定式。

因此，函数在 $ x = 0, 1, 2 $ 处无定义，但需要进一步分析这些点附近的极限是否存在或是否有限。

第三步：分析各个选项区间内是否有界

(A) $(-1, 0)$

在这个区间内：

• $ x < 0 $，所以 $ |x| = -x $
• 分母：$ x(x - 1)(x - 2)^2 $，三个因子都是负数，乘积为负数
• 分子：$ |x| \sin(x - 2) = -x \sin(x - 2) $，是有界的（因为 $\sin$ 有界）

所以整个函数是连续函数，且在该区间内没有无定义点，因此函数在 $(-1, 0)$ 内有界。

✅ 选项 A 是有界的

(B) $(0, 1)$

在这个区间内：

• $ x > 0 $，所以 $ |x| = x $
• 分母：$ x(x - 1)(x - 2)^2 $，其中 $ x > 0 $，$ x - 1 < 0 $，$ x - 2 < 0 $，所以分母是负数
• 分子：$ x \sin(x - 2) $，是有界的

但注意：当 $ x \to 0^+ $ 时，分子 $ x \sin(x - 2) \to 0 $，分母 $ x(x - 1)(x - 2)^2 \to 0 $，是 0/0 型不定式，需要进一步分析极限是否存在。

我们用极限判断：

$\lim_{x \to 0^+} \frac{x \sin(x - 2)}{x(x - 1)(x - 2)^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)^2}$

代入 $ x \to 0 $ 得：

$\frac{\sin(-2)}{(-1)(-2)^2} = \frac{-\sin(2)}{4} \in \mathbb{R}$

所以极限存在，函数在 $ x = 0 $ 附近是有限的。

但注意：当 $ x \to 1^- $ 时：

• 分母：$ x(x - 1)(x - 2)^2 \to 0 $，但分子不趋于 0
• 所以极限趋于无穷，函数在 $ x = 1 $ 附近趋于无穷

因此，函数在 $ (0, 1) $ 内无界

❌ 选项 B 无界

(C) $(1, 2)$

在这个区间内：

• $ x > 0 $，所以 $ |x| = x $
• 分母：$ x(x - 1)(x - 2)^2 $，其中 $ x - 1 > 0 $，$ x - 2 < 0 $，所以分母是负数
• 分子：$ x \sin(x - 2) $，是有界的

但注意：当 $ x \to 2^- $ 时：

• 分母：$ x(x - 1)(x - 2)^2 \to 0 $，且趋于 0（分母为 0）
• 分子：$ x \sin(x - 2) \to 2 \cdot \sin(0) = 0 $，所以是 0/0 型不定式

我们分析极限：

$\lim_{x \to 2^-} \frac{x \sin(x - 2)}{x(x - 1)(x - 2)^2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{\sin(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)^2}$

令 $ t = x - 2 \to 0^- $，则：

$\lim_{t \to 0^-} \frac{\sin t}{(t + 1)t^2} = \lim_{t \to 0^-} \frac{\sin t}{t^2 (t + 1)}$

因为 $ \sin t \sim t $，所以：

$\sim \frac{t}{t^2 (t + 1)} = \frac{1}{t(t + 1)} \to -\infty \quad (\text{因为 } t \to 0^-)$

所以极限趋于负无穷，函数在 $ x = 2 $ 附近趋于无穷，在 $ (1, 2) $ 内无界

❌ 选项 C 无界

(D) $(2, 3)$

在这个区间内：

• $ x > 0 $，所以 $ |x| = x $
• 分母：$ x(x - 1)(x - 2)^2 $，三个因子都为正，所以分母为正
• 分子：$ x \sin(x - 2) $，是有界的

注意：当 $ x \to 2^+ $ 时：

• 分母：$ x(x - 1)(x - 2)^2 \to 0^+ $
• 分子：$ x \sin(x - 2) \to 2 \cdot \sin(0) = 0 $，是 0/0 型不定式

我们分析极限：

$\lim_{x \to 2^+} \frac{x \sin(x - 2)}{x(x - 1)(x - 2)^2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{\sin(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)^2}$

令 $ t = x - 2 \to 0^+ $，则：

$\lim_{t \to 0^+} \frac{\sin t}{(t + 1)t^2} \sim \frac{t}{t^2(t + 1)} = \frac{1}{t(t + 1)} \to +\infty$

所以极限趋于正无穷，函数在 $ x = 2 $ 附近趋于无穷，在 $ (2, 3) $ 内无界

❌ 选项 D 无界

最终结论：

只有在区间 $(-1, 0)$ 内，函数 $ f(x) $ 没有无定义点，且极限存在，因此函数在该区间内有界。

✅ 正确答案是：

$\boxed{\text{(A)}\ (-1, 0)}$