题目
18 单选(4分)初值问题 y'+9y=0 ,y(0)=0 ,y'(0)=3 的解 y(x)= ()-|||-c-|||-A. dfrac (1)(3)sin (3x)-|||-B.sin(3x)-|||-c.sin(2x)-|||-D. dfrac (1)(2)sin (2x)
题目解答
答案
解析
步骤 1：求解微分方程的通解
给定的微分方程是 $y'' + 9y = 0$。这是一个二阶线性齐次微分方程，其特征方程为 $r^2 + 9 = 0$。解这个方程，得到 $r = \pm 3i$。因此，微分方程的通解形式为 $y(x) = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)$。
步骤 2：应用初始条件
根据初始条件 $y(0) = 0$，代入通解得到 $C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = 0$，即 $C_1 = 0$。因此，通解简化为 $y(x) = C_2 \sin(3x)$。
步骤 3：应用第二个初始条件
根据初始条件 $y'(0) = 3$，首先求出 $y(x)$ 的导数 $y'(x) = 3C_2 \cos(3x)$。然后代入 $x = 0$，得到 $3C_2 \cos(0) = 3$，即 $3C_2 = 3$，从而 $C_2 = 1$。因此，最终的解为 $y(x) = \sin(3x)$。
给定的微分方程是 $y'' + 9y = 0$。这是一个二阶线性齐次微分方程，其特征方程为 $r^2 + 9 = 0$。解这个方程，得到 $r = \pm 3i$。因此，微分方程的通解形式为 $y(x) = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)$。
步骤 2：应用初始条件
根据初始条件 $y(0) = 0$，代入通解得到 $C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = 0$，即 $C_1 = 0$。因此，通解简化为 $y(x) = C_2 \sin(3x)$。
步骤 3：应用第二个初始条件
根据初始条件 $y'(0) = 3$，首先求出 $y(x)$ 的导数 $y'(x) = 3C_2 \cos(3x)$。然后代入 $x = 0$，得到 $3C_2 \cos(0) = 3$，即 $3C_2 = 3$，从而 $C_2 = 1$。因此，最终的解为 $y(x) = \sin(3x)$。