题目
设=diaq(-1,2,-1)-|||-__ __，且=diaq(-1,2,-1)-|||-__ __，求矩阵=diaq(-1,2,-1)-|||-__ __。
设
，且
，求矩阵
。
题目解答
答案
∵
，∴根据对角线法则，可知矩阵
的行列式
，∴矩阵可逆，且
，即
，而根据逆矩阵的性质
，可知
，则矩阵
，并同理可得
，又∵，故有
，代入
，可得
，∴
。
解析
步骤 1：计算矩阵A的逆矩阵${A}^{-1}$
由于A是对角矩阵，其逆矩阵可以通过对角线元素的倒数来计算。对于A=diag(-1,2,-1)，其逆矩阵${A}^{-1}$为diag(-1,1/2,-1)。
步骤 2：将${A}^{-1}$代入给定的等式$A*B={A}^{-1}+2B$
将${A}^{-1}$代入等式$A*B={A}^{-1}+2B$，得到$A*B=diag(-1,1/2,-1)+2B$。
步骤 3：求解矩阵B
由于$A*B={A}^{-1}+2B$，可以将等式重写为$A*B-2B={A}^{-1}$，即$(A-2E)*B={A}^{-1}$，其中E是单位矩阵。由于A是对角矩阵，$A-2E$也是对角矩阵，其对角线元素为-3,0,-3。因此，$(A-2E)*B={A}^{-1}$可以写为$diag(-3,0,-3)*B=diag(-1,1/2,-1)$。由于$diag(-3,0,-3)$的对角线元素中有一个为0，因此矩阵$(A-2E)$不可逆，这意味着B的第二列可以是任意值，而第一列和第三列可以通过解方程$-3b_{11}=-1$和$-3b_{31}=-1$得到，即$b_{11}=\frac{1}{3}$和$b_{31}=\frac{1}{3}$。因此，矩阵B的第一列和第三列分别为$\begin{bmatrix} \frac{1}{3} \\ 0 \\ \frac{1}{3} \end{bmatrix}$，而第二列可以是任意值。
由于A是对角矩阵，其逆矩阵可以通过对角线元素的倒数来计算。对于A=diag(-1,2,-1)，其逆矩阵${A}^{-1}$为diag(-1,1/2,-1)。
步骤 2：将${A}^{-1}$代入给定的等式$A*B={A}^{-1}+2B$
将${A}^{-1}$代入等式$A*B={A}^{-1}+2B$，得到$A*B=diag(-1,1/2,-1)+2B$。
步骤 3：求解矩阵B
由于$A*B={A}^{-1}+2B$，可以将等式重写为$A*B-2B={A}^{-1}$，即$(A-2E)*B={A}^{-1}$，其中E是单位矩阵。由于A是对角矩阵，$A-2E$也是对角矩阵，其对角线元素为-3,0,-3。因此，$(A-2E)*B={A}^{-1}$可以写为$diag(-3,0,-3)*B=diag(-1,1/2,-1)$。由于$diag(-3,0,-3)$的对角线元素中有一个为0，因此矩阵$(A-2E)$不可逆，这意味着B的第二列可以是任意值，而第一列和第三列可以通过解方程$-3b_{11}=-1$和$-3b_{31}=-1$得到，即$b_{11}=\frac{1}{3}$和$b_{31}=\frac{1}{3}$。因此，矩阵B的第一列和第三列分别为$\begin{bmatrix} \frac{1}{3} \\ 0 \\ \frac{1}{3} \end{bmatrix}$，而第二列可以是任意值。