题目
求下列不定积分:-|||-(22) int dfrac (cos 2x)({cos )^2x(sin )^2x}dx ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：化简被积函数
首先，我们注意到被积函数 $\dfrac{{\cos }^{2}2x}{{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x}$ 可以通过三角恒等式进行化简。利用二倍角公式 ${\cos }^{2}2x = {\cos }^{2}x - {\sin }^{2}x$，我们可以将被积函数化简为 $\dfrac{{\cos }^{2}x - {\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x}$。
步骤 2：分离被积函数
接下来，我们分离被积函数，将其写为 $\dfrac{{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x} - \dfrac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x}$，即 $\dfrac{1}{{\sin }^{2}x} - \dfrac{1}{{\cos }^{2}x}$。
步骤 3：积分
最后，我们分别对 $\dfrac{1}{{\sin }^{2}x}$ 和 $\dfrac{1}{{\cos }^{2}x}$ 进行积分。$\int \dfrac{1}{{\sin }^{2}x} dx = -\cot x + C_1$，$\int \dfrac{1}{{\cos }^{2}x} dx = \tan x + C_2$。因此，原不定积分的结果为 $-\cot x - \tan x + C$，其中 $C = C_1 + C_2$ 是积分常数。
首先，我们注意到被积函数 $\dfrac{{\cos }^{2}2x}{{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x}$ 可以通过三角恒等式进行化简。利用二倍角公式 ${\cos }^{2}2x = {\cos }^{2}x - {\sin }^{2}x$，我们可以将被积函数化简为 $\dfrac{{\cos }^{2}x - {\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x}$。
步骤 2：分离被积函数
接下来，我们分离被积函数，将其写为 $\dfrac{{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x} - \dfrac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x}$，即 $\dfrac{1}{{\sin }^{2}x} - \dfrac{1}{{\cos }^{2}x}$。
步骤 3：积分
最后，我们分别对 $\dfrac{1}{{\sin }^{2}x}$ 和 $\dfrac{1}{{\cos }^{2}x}$ 进行积分。$\int \dfrac{1}{{\sin }^{2}x} dx = -\cot x + C_1$，$\int \dfrac{1}{{\cos }^{2}x} dx = \tan x + C_2$。因此，原不定积分的结果为 $-\cot x - \tan x + C$，其中 $C = C_1 + C_2$ 是积分常数。