8./已知向量组 (alpha )_(1)=(k,2,1), (alpha )_(2)=(2,k,0), (alpha )_(3)=(1,-1,1), 问:-|||-(1)k为何值时,α1,α2,α3线性无关;(2)k为何值时,α1,α22,α3线性相关;-|||-(3)当a1,α2,α3线性相关时,把α3表示为α1,α2的线性组合。

考查要点：本题主要考查向量组的线性相关性及线性组合的表示方法。
解题思路：

1. 线性无关与线性相关的判定：通过构造矩阵并计算行列式来判断向量组是否线性相关。若行列式非零，则线性无关；若行列式为零，则线性相关。
2. 线性组合的表示：当向量组线性相关时，通过解线性方程组将目标向量表示为其他向量的线性组合。

关键点：

• 行列式的计算是判断线性相关性的核心。
• 分情况讨论当行列式为零时的参数值，并分别求解线性组合系数。

(1) k为何值时，α₁, α₂, α₃线性无关？

构造矩阵 $A = [\alpha_1 | \alpha_2 | \alpha_3]$，计算行列式：
$|A| = \begin{vmatrix}k & 2 & 1 \\2 & k & -1 \\1 & 0 & 1\end{vmatrix} = k(k \cdot 1 - (-1) \cdot 0) - 2(2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) + 1(2 \cdot 0 - k \cdot 1) = k^2 - k - 6$
当 $|A| \neq 0$ 时，向量组线性无关，即：
$k^2 - k - 6 \neq 0 \implies k \neq 3 \text{ 且 } k \neq -2$

(2) k为何值时，α₁, α₂, α₃线性相关？

当 $|A| = 0$ 时，向量组线性相关，即：
$k^2 - k - 6 = 0 \implies k = 3 \text{ 或 } k = -2$

(3) 当α₁, α₂, α₃线性相关时，将α₃表示为α₁, α₂的线性组合

情况1：k = 3
设 $\alpha_3 = m\alpha_1 + n\alpha_2$，代入分量得方程组：
$\begin{cases}3m + 2n = 1 \\2m + 3n = -1 \\m = 1\end{cases}$
解得 $m = 1$，$n = -1$，故 $\alpha_3 = \alpha_1 - \alpha_2$。

情况2：k = -2
同理，方程组为：
$\begin{cases}-2m + 2n = 1 \\2m - 2n = -1 \\m = 1\end{cases}$
解得 $m = 1$，$n = \dfrac{3}{2}$，故 $\alpha_3 = \alpha_1 + \dfrac{3}{2}\alpha_2$。