题目
11.7已知级数 2+sum_(n=1)^infty(x^2n)/((2n)!)在(-∞,+∞)上是微分方程y"-y=b的解，确定常数b并用这一结果求该级数的和函数.
11.7
已知级数$ 2+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$在(-∞,+∞)上是微分方程y"-y=b的解，确定常数b并用这一结果求该级数的和函数.
题目解答
答案
设 $y = 2 + \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}$，则
\[
y' = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}, \quad y'' = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}.
\]
代入微分方程 $y'' - y = b$，得
\[
b = y'' - y = 1 - 2 = -1.
\]
解非齐次方程 $y'' - y = -1$，通解为
\[
y = C_1 e^{-x} + C_2 e^x + 1.
\]
由初始条件 $y(0) = 2$，$y'(0) = 0$，解得
\[
C_1 = C_2 = \frac{1}{2}.
\]
故和函数为
\[
\boxed{\frac{1}{2} (e^{-x} + e^x) + 1} \quad \text{或} \quad \boxed{\cosh x + 1}.
\]
解析
步骤 1：求解级数的导数
给定级数为 $y = 2 + \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}$，我们首先求出它的导数。级数的导数为 \[ y' = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}. \] 然后求出二阶导数，即 \[ y'' = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}. \]
步骤 2：代入微分方程
将 $y$ 和 $y''$ 代入微分方程 $y'' - y = b$，得到 \[ b = y'' - y = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} - \left(2 + \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}\right) = 1 - 2 = -1. \]
步骤 3：求解非齐次方程
解非齐次方程 $y'' - y = -1$，通解为 \[ y = C_1 e^{-x} + C_2 e^x + 1. \] 由初始条件 $y(0) = 2$，$y'(0) = 0$，解得 \[ C_1 = C_2 = \frac{1}{2}. \] 故和函数为 \[ y = \frac{1}{2} e^{-x} + \frac{1}{2} e^x + 1. \]
给定级数为 $y = 2 + \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}$，我们首先求出它的导数。级数的导数为 \[ y' = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}. \] 然后求出二阶导数，即 \[ y'' = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}. \]
步骤 2：代入微分方程
将 $y$ 和 $y''$ 代入微分方程 $y'' - y = b$，得到 \[ b = y'' - y = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} - \left(2 + \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}\right) = 1 - 2 = -1. \]
步骤 3：求解非齐次方程
解非齐次方程 $y'' - y = -1$，通解为 \[ y = C_1 e^{-x} + C_2 e^x + 1. \] 由初始条件 $y(0) = 2$，$y'(0) = 0$，解得 \[ C_1 = C_2 = \frac{1}{2}. \] 故和函数为 \[ y = \frac{1}{2} e^{-x} + \frac{1}{2} e^x + 1. \]