求极限lim _(xarrow 0)dfrac (x({e)^x+1)-2((e)^x-1)}({x)^3}-|||-__

本题考查极限的求解方法，特别是处理0/0型不定式的技巧。核心思路是通过洛必达法则或泰勒展开将复杂表达式简化。关键在于多次应用洛必达法则或展开分子中的指数函数，消除高阶无穷小的影响，最终求得极限值。

方法一：洛必达法则

1. 第一次应用洛必达法则
   当$x \rightarrow 0$时，分子和分母均趋近于0，满足0/0型不定式。对分子和分母分别求导：

   • 分子导数：
     $\dfrac{d}{dx}\left[x(e^x+1)-2(e^x-1)\right] = (e^x+1) + x e^x - 2 e^x = 1 - e^x + x e^x$
   • 分母导数：
     $\dfrac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$
     此时极限变为：
     $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1 - e^x + x e^x}{3x^2}$

2. 第二次应用洛必达法则
   代入$x=0$仍为0/0型，继续求导：

   • 分子导数：
     $\dfrac{d}{dx}(1 - e^x + x e^x) = -e^x + e^x + x e^x = x e^x$
   • 分母导数：
     $\dfrac{d}{dx}(3x^2) = 6x$
     此时极限变为：
     $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{x e^x}{6x} = \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{e^x}{6} = \dfrac{1}{6}$

方法二：泰勒展开

将$e^x$展开为泰勒多项式：
$e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$
代入分子并化简：
$\begin{aligned}x(e^x+1) - 2(e^x-1) &= x\left(2 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6}\right) - 2\left(x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6}\right) \\&= 2x + x^2 + \dfrac{x^3}{2} + \dfrac{x^4}{6} - 2x - x^2 - \dfrac{x^3}{3} \\&= \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)\end{aligned}$
因此，原式化简为：
$\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{x^3}{6}}{x^3} = \dfrac{1}{6}$